Изменения
→Применение симметричной версии локальной леммы
'''Решение:'''<br>
Уменьшим при необходимости некоторые $P_i$ так, чтобы для всех $i$ выполнялось <tex>|P_i| = k := [2ed] + 1</tex>. Обозначим <tex>2ed + 1</tex> как <tex>k</tex>. Будем выбирать вершины <tex>x_i \in P_i</tex> случайно и независимо. Каждому ребру <tex>(u,v)</tex> графа $G$ сопоставим событие $A_{(u, v)}$: оба конца $u$, $v$ этого ребра выбраны. Очевидно, что вероятность каждого такого события не больше, чем $1/k^2$. В случае, если концы ребра принадлежат одному и тому же $P_i$ или один из них не принадлежит ни одному $P_i$, вероятность равна
$0$ и такие события мы далее не рассматриваем. Для ребра $(u, v)$, для которого, скажем <tex>u \in P_1, v \in P_2</tex>, рассмотрим все ребра, выходящие из вершин множеств $P_1$ и $P_2$. Всего будет не более,
чем $2kd - 2$ таких ребер ''(не считая ребра $(u, v)$)''. Заметим, что событие $A_{(u, v)}$ не зависит от всех других событий типа <tex>A_{(u', v')}</tex>, где <tex>(u', v')</tex> - ребро, соединяющее вершины множеств, отличных от $P_1$ и $P_2$.<br> Таким образом, для применения симметричной версии локальной леммы достаточно проверить, что <tex>e(2kd − 1) / k^2 < 1</tex>, что имеет место.
