Изменения

# Пусть существует односторонняя взаимно однозначная функция: $f : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$, преобразующая $n$-битные числа в $n$-битные для любого $n$, причем $f(x)$ можно вычислить за время $poly(n)$, а $f^{-1}(x)$ нельзя вычислить за $poly(n)$ (здесь как $n$ обозначена длина двоичной записи числа $x$). Докажите, что $L=\{(x, y)| f^{-1}(x) < y\}$ лежит в $NP\cap coNP \setminus P$.

# Говорят, что булева формула с кванторами находится в предваренной форме, если сначала идут все кванторы, а затем булева формула: $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n \varphi(x_1,\ldots, x_n)$, где $Q = \forall$ или $Q = \exists$. Докажите, что язык истиных булевых формул с кванторами в предваренной форме является $PS$-полным.

# $PS$-полнота Generalized Geography. Игра в Generalized Geography (GG) ведется на поле, которое представляет собой ориентированный граф с выделенной стартовой вершиной. Исходно фишка находится в стартовой вершине. Два игрока делают ходы по очереди, за один ход игрок перемещает фишку по ребру из текущей вершины. Запрещается перемещать фишку в вершину, где она уже ранее была. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Докажите, что $GG = \{\langle G, s\rangle|$ первый игрок выигрывает на графе $G$ со стартовой вершиной $s\}$ является $PS$-полным языком.

# $PS$-полнота Shannon Switching Game. Игра Шеннона ведется на поле, которое представляет собой неориентированный граф с двумя выделенными вершинами $s$ и $t$. Два игрока Short и Cut делают ходы по очереди, Short ходит первым. За один ход Short может выбрать одну вершину и защитить её. За один ход Cut может удалить любую вершину, кроме $s$, $t$ и защищенных к текущему моменту вершин. В конце Short выигрывает, если по защищенным вершинам можно добраться от $s$ до $t$. Докажите, что $SHSW = \{\langle G, s, t\rangle|$ Short выигрывает на графе $G$ с выделенными вершиными $s$ и $t\}$ является $PS$-полным языком.