==== Подход ====
В основе стоит идеяВычисления происходят рекурсивно для каждого <tex>j-</tex>го документа. <br /><tex>N=1</tex>. Оценить вероятность оказаться на r-м месте для 1 элемента: <br /><tex> p_j^1(r)=\delta (r)</tex> <br /><tex>N=2</tex>. Тогда оказаться на 1-м и 2-м месте для двух документов: <br /><tex> p_j^2(0)=1 - \pi_{1, чтобы j}</tex> <br /><tex> p_j^2(1)=\pi_{1,j}</tex> <br /><tex>N=3</tex>. Для выборки из 3-х элементов, вероятность оказаться на первом месте: <br /><tex> p_j^3(1)=p_j^2(0)\cdot \pi_{2,j} + p_j^{i-1}(1)\cdot (1- \pi_{2,j}) </tex> <br />и т.д. <br />[[Файл:SM_pr.png]] Чтобы использовать метрику NDCG '''необходимо''' учесть математическое ожидание ассесорской оценки <tex>M[D(r_j)]</tex>, что уже дает гладкий функционал:<center><tex>SoftNDCG=G_{max}^{-1}\cdot \sum_{i=1}^N g(l_i) \sum_{r=0}^{N-1}D(r_j)p_j(r)</tex></center>Данное выражения уже возможно оптимизировать градиентом:<center><tex>\Large {\frac{\delta \mathbb {G} }{\delta \overline{d_i}} =G_{max}^{-1}\cdot \sum_{i=1}^N g(l_i) \sum_{r=0}^{N-1}D(r_j)\frac{\delta p_j(r) }{\delta \overline{d_i} } } </tex></center><tex>\displaystyle {\frac{\delta p_j(r) }{\delta \overline{d_i} } }</tex> вычислятся через <tex>\displaystyle { \frac{\delta \pi_{i,j} }{\delta \overline{d_i}} }</tex>: <center><tex>\displaystyle { \frac{\delta \pi_{i,j} }{\delta \overline{d_i}} } = \begin{cases} \end{cases} </tex></center>
=== AdaRank ===
