1302
правки
Изменения
м
|about= Следствие
Из непрерывности Так как <tex>Ff </tex> следует её ограниченностьограничена (в силу [[Определение интеграла Римана, т. е. простейшие свойства#utv1 |этого утверждения]]), то <tex>\exists M: \ |f| \leq M</tex>.
3
{{В разработке}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
= ПРОЧИТАТЬ И ДОРАБОТАТЬ =Утверждение ==
{{Утверждение
|statement=
}}
=== Следствие ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\exists c \in [a; b]: f(c) = \frac1{b - a}\int\limits_a^b f</tex>
|proof=
Определим <tex>m = \min\limits_{[a; b]} f(x)</tex>, <tex>M = \max\limits_{[a; b]} f(x)</tex>.
== Свойства ==
=== Свойство 1 №1 ===
{{Утверждение
|statement=
<tex>F</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>.
|proof=
Тогда <tex>|F(x + \Delta x) - F(x)| = \left|\int\limits_x^{x + \Delta x}f\right| \leq </tex> <tex> leqslant M |\Delta x| \xrightarrow[\Delta x \to 0]{} 0\Rightarrow</tex> <tex>F</tex> {{---}} непрерывна.
}}
|author=Барроу
|statement=
Пусть <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex> и непрерывна в <tex>x_0 \in (a; b)</tex>.
Тогда <tex>F</tex> дифференцируема в этой точке и её производная равна <tex>F'(x_0) = f(x_0)</tex>.
|proof=
Приращение <tex>F(x_0 + \Delta x) - F(x_0) = \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f(x)dx</tex>
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0</tex> (при <tex>|x - x_0| < \delta </tex> в силу непрерывности в точке <tex>x_0</tex>) выполняется <tex>: |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x_0) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon</tex>
Рассмотрим <tex> |\Delta x| < \delta </tex>По первому утверждению получаем<tex>\forall |\Delta x| < \delta: \quad f(x_0) - \varepsilon \leq leqslant \frac1{\Delta x} \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f \leq leqslant f(x_0) + \varepsilon</tex>
Устремляя <tex>\varepsilon</tex> к <tex>0</tex>, получаем <tex>\frac{\Delta F(x_0, \Delta x)}{\Delta x} \to f(x_0)</tex>
