693
правки
Изменения
Нет описания правки
Перепишем первое равенство, выразив <tex>P(t)</tex> через <tex>A(t)</tex> и <tex>Q(t)</tex>: <tex>P(t) = A(t) \cdot Q(t)</tex>.
Так как <tex>deg(P) < k</tex>, выполнено <tex>p_n = 0</tex> для любого <tex>n \geqslant k </tex>. Расписывая <tex>p_n</tex> по определению [[Арифметические действия с формальными степенными рядами#def_mul|произведения степенных рядов]], получаем <tex>p_n = \sum\limits_{i = 0}^n a_{n-i} \cdot q_{i} = 0</tex>.
Разобьём полученную сумму на две: <tex>p_n = \sum\limits_{i = 0}^{k} a_{n-i}\cdot q_{i} + \sum\limits_{i = k+1}^n a_{n-i}\cdot q_{i}</tex>. Вторая компонента равна нулю, поскольку <tex>deg(Q) = k</tex>. Тогда <tex>p_n = \sum\limits_{i = 0}^k a_{n-i} \cdot q_{i} = 0</tex>.
