Изменения
notes
{{Определение
|definition = '''Случайное блуждание''' (англ. ''Random walk'') {{---}} математическая модель процесса случайных изменений — шагов в дискретные моменты времени. При этом предполагается, что изменение на каждом шаге не зависит от предыдущих и от времени. '''Соедини в одно предложение, переформулируй''' В силу простоты анализа эта модель часто используется в разных сферах в математике, экономике, физике, но, как правило, такая модель является существенным упрощением реального процесса.
}}
Представим частицу, которая движется по целым точкам на прямой. Перемещение из одной точки
в другую происходит через равные промежутки времени. За один шаг частица из точки k с положительной вероятностью p перемещается в точку <tex>k + 1</tex> и с положительной вероятностью <tex>q = 1 − p</tex>
перемещается в точку k − 1. '''Тех'''Физической системе соответствует цепь Маркова:'''лучше сделать тут кликабельным'''
*<tex>\xi_n = \xi_{n-1} + \eta_n = \xi_0 + S_n, \eta_n = \begin{cases} 1, &\text{с вероятностью p}\\-1, &\text{с вероятностью 1 - p}
\end{cases}</tex>
Заметим, что вернуться в какую-либо точку можно только за четное число шагов.
==Вероятность смещения на d единиц вправо или (влево)==
Выведем распределение случайной величины <tex>\xi_n</tex>. '''Кажется, это предложение можно выкинуть и ничего не изменится''' Будем считать, что <tex>P(\xi_0 = m) = 1</tex>. Это отвечает тому, '''переформулируй, пожалуйста, не очень корректный оборот''' что в начальный момент времени частица достоверно '''лишнее слово''' находилась в точке
<tex>x = m</tex> (здесь <tex>m</tex> — фиксированное число) и затем начала случайно блуждать в соответствии с описанными выше правилами. Пусть <tex>d</tex> — смещение частицы за <tex>n</tex> шагов.
Найдём <tex>P(\xi_n = m + d)</tex> для каждого <tex>d ∈ Z</tex>.
Справедливо очевидное '''лишнее слово''' равенство:
*<tex>P(\xi_n = m + d) = P(\xi_n = m + d | \xi_0 = m)</tex>, если <tex>P(\xi_0 = m) = 1.</tex>
Наша физическая модель с математической точки зрения в точности отвечает
схеме независимых испытаний Бернулли '''лучше сделать ссылку на конспекты, если в них это есть, или хотя бы на Википедию''' с двумя исходами —- прыжком вправо, который мы будем называть успехом, и прыжком '''лишнее определение, можно писать "перемещение" или "движение"''' вправо (неудачей). В рамках этойматематической модели все вероятности рассчитываются на основании распределения Бернулли. '''Лишнее предложение''' Пусть частица сделала <tex>n</tex> прыжков. Вероятность того, что среди
этих прыжков будет ровно <tex>k</tex> прыжков вправо (или, что то же самое, <tex>n−k</tex> прыжков
влево) задаётся формулой:
*<tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, k = 0, 1, . . . , n.</tex> (1)'''Это сумма? Если да, так и напиши'''
Смещение частицы и число прыжков влево и вправо связаны простейшим '''лишнее слово''' уравнением*<tex>d = 1 · k + (−1) · (n − k) = 2k − n \quad</tex> (2)'''(1) и (2) разным шрифтом. И такие собственные сноски тоже лучше делать кликабельными. Можно вынести их в отдельные разделы статьи'''
откуда <tex>k = \frac{(n + d)}{2}</tex>. Понятно, что, поскольку частица сделала ровно n прыжков,'''Тех'''
число прыжков вправо должно быть целым числом в интервале <tex>[0, n]</tex>, другими словами, <tex>P(\xi_n = m + d) = 0,</tex> если <tex>k = \frac{(n + d)}{2}, k \notin \{0, 1, . . . , n\}</tex>. Если же указанное
ограничение выполнено, то в рамках нашей модели блужданий мы можем воспользоваться распределением Бернулли (1):'''вот тут хочется кликнуть на (1)'''
*<tex> P(\xi_n = m + d) = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \quad k = \frac{(n + d)}{2} </tex>, при обязательном условии <tex>k ∈ {0, 1, . . . , n}.</tex> (3)
Замечание. Ограничение <tex>0 \leq k \leq n </tex> по формуле (2) влечёт <tex>|d| \leq n</tex>. Это
можно понять и без расчётов: если <tex>|d| > n</tex>, то частица «не успевает» '''в научных текстах не должно быть ненаучных выражений в кавычках''' дойти из начальной в конечную точку за
<tex>n</tex> шагов, даже двигаясь строго в одном направлении
(налево при <tex>d < 0</tex> и направо при <tex>d > 0</tex>). Ограничение на значения <tex>k</tex> согласовано
шагов <tex>n</tex> (номером члена последовательности)
и смещением <tex>d</tex>.
При своём движении частица случайным образом «выбирает» '''то же самое''' одну из возможных траекторий. Для перехода из точки
<tex>m</tex> в точку <tex>m</tex> за <tex>n</tex> шагов возможными являются все те и только те траектории длины
<tex>n</tex>, в которых ровно <tex>k</tex> смещений вправо и <tex>n − k</tex> смещений влево, где <tex>k = \frac{(n +
d)}{2}</tex>. Равенство (1) при этом можно интерпретировать так: вероятность того, что частица пройдет по одной из
возможных траекторий, равна <tex>p^k q^{n−k}</tex>, и всего существуют <tex>{C_{n}^k}</tex> таких траекторий, таким образом, <tex>P = p^k*q^{n−k}+...+p^k*q^{n−k}={C_{n}^k} p^k q^{n−k}.</tex>
'''Хотелось бы чуть структурировать, выглядит, как стена текста. Оформить замечание в специальную сноску или в отдельный блок, выделить главное. Сейчас замечание выглядит важнее, чем факт, к которому оно приложено, а это не должно быть так'''
== Задача о разорении игрока ==
Обсудим блуждание на примере задачи о разорении. '''Лишнее предложение''' Пусть начальный капитал <tex>\xi_0</tex> первогоигрока составляет <tex>k</tex> рублей, а капитал второго игрока '''поставь теховское тире''' – <tex>(n − k)</tex> рублей. Первый игрок выигрывает
или проигрывает рубль с вероятностями <tex>p</tex> и <tex>q</tex> соответственно. Игра продолжается до тех пор, пока
капитал первого игрока не уменьшится до нуля, либо не возрастет до <tex>n</tex>. Поглощение точки в правом
*<tex> \quad p_{kn}(t + 1) = p*p_{k+1,n}(t) + q*p_{k−1,n}(t), \quad k = 1, 2, . . . , n − 1.</tex>
'''в формулах следует писать не *, а \cdot'''
Заметим, что:
<tex> \quad \quad \{\xi_1 = n\} ⊂ \{\xi_2 = n\} ⊂ · · · ⊂ \{\xi_t = n\} ⊂ . . . </tex>'''Это события? Не очень понятно, что ты имеешь ввиду'''
Положим <tex>A =\cup_{t=1}^∞\{\xi_t = n\}</tex>. Тогда
Отсюда и из (2.3) находим
*<tex>\quad p_{kn} = (1 − q/p)^k/(1 − (q/p)^n).</tex>'''Оформи дроби через \frac'''
Вероятности выигрыша первым игроком <tex>p_{k0}</tex> тоже удовлетворяют уравнению (2.2). Но граничными
В схеме блуждания по целым точкам с поглощением только в нуле вероятность события
<tex>\quad A_n = \{\xi_t = 0</tex> в некоторый момент времени <tex>t</tex>, <tex>\xi_t ∈ [0, n)</tex> во все моменты <tex>t\}</tex>'''Лучше не писать текстом в математических объектах и не использовать математические объекты как сокращения в тексте. тут лучше ввести новую переменную и раскрыть её смысл вне системы'''
равна
== Источники информации ==
'''Все источники нужно сделать кликабельными'''
* Конспект лекций по теории случайных процессов А.А. Соловьев
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk "Википедия - Random_walk"]
