403
правки
Изменения
интеграл сложной функции ^_^
}}
== Интегрирование сложной функции ==
{{Теорема
<tex>\tau : a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n < b</tex>
<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |(F(f(\overlinebar{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))| ) \Delta x_k </tex>,(где <tex>\overlinebar{x}_k, \tilde{x}_k \in [x_k; x_{k + 1}]</tex>)
<tex> \leq </tex>(из свойств модуля непрерывности)
<tex> \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega(F, |f(\overlinebar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)|) \Delta x_k</tex>
<tex>\leq</tex>(по теореме о выпуклой мажоранте)
<tex>(b-a)\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega^*(F, |f(\overlinebar{x}_k ) - f(\tilde{x}_k))|) \frac{\Delta x_k}{b - a}</tex>
(так как <tex>\sum\limits_{k =0}^{n - 1} \frac{\Delta x_k}{b - a} = 1</tex>, а <tex>\omega^*</tex> выпукла вверх)
<tex>\leq (b - a) \omega^*(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\overlinebar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x_k}{b - a})</tex> <tex>\leq </tex>(по теореме о выкуклой мажоранте) <tex>2(b - a) \omega(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\overlinebar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x_k}{b - a})</tex> По только что доказанному,
По определению <tex>\omega(f, \tau)</tex>,<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\overlinebar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x}{b - a} \leq \frac{1}{b - a} \omega(f, \tau)</tex>
Отсюда, по монотонности модуля непрерывности,
<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |F(f(\overlinebar{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))| \Delta x_k</tex>
<tex>\leq 2(b - a)\omega(F, \frac1{b - a}\omega(f, \tau))</tex>
Промежуточных точек не имеется, поэтому, переходя к <tex>\sup</tex> по <tex>\overlinebar{x}_k</tex> и <tex>\tilde{x}_k</tex>,
приходим к неравенству
