Изменения

*<tex> P(\xi_n = m + d) = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \quad k = \frac{(n + d)}{2} </tex>, при обязательном условии <tex>k ∈ {0, 1, . . . , n}.</tex> (3)

Замечание'''Замечания'''. <tex>1)</tex> Ограничение <tex>0 \leq k \leq n </tex> по формуле (2) влечёт <tex>|d| \leq n</tex>. Этоможно понять и без расчётов: если <tex>|d| > n</tex>, то частица не успевает дойти из начальной в конечную точку за <tex>n</tex> шагов, даже двигаясь строго в одном направлении(налево при <tex>d < 0</tex> и направо при <tex>d > 0</tex>). Ограничение на значения <tex>k</tex> согласованои с (3): биномиальный коэффициент <tex>{C_{n}^k}</tex> не определён при <tex> k \notin \{0, 1, . . . , n\}</tex>. Мыможем даже считать формулу (3) верной при любом <tex>k</tex>, если положим по определению<tex>C_{n}^k = 0 </tex> для <tex> k \notin \{0, 1, . . . , n\}</tex>. Число шагов <tex>n</tex> и смещение <tex>d</tex> должны иметь какцелые числа одну чётность. Вероятность (3) не зависит от начального положения <tex>m</tex> и определяется только числом шагов <tex>n</tex> (номером члена последовательности2) и смещением <tex>d</tex>.При своём движении частица случайным образом выбирает одну из возможных траекторий. Для перехода из точки

возможных траекторий, равна <tex>p^k q^{n−k}</tex>, и всего существуют <tex>{C_{n}^k}</tex> таких траекторий, таким образом, *<tex>P = p^k \cdot q^{n−k}+...+p^k \cdot q^{n−k}={C_{n}^k} p^k q^{n−k}.</tex>