436
правок
Изменения
Initial commit
{{В разработке}}
Описание всех используемых далее комбинаторных объектов можно найти в статье [[Конструирование комбинаторных объектов и их подсчёт|Конструирование комбинаторных объектов и их подсчёт]].
= Непомеченные деревья =
== Подвешенные неполные двоичные деревья ==
Пусть <tex dpi="130">T_{n}</tex> {{---}} количество таких деревьев с <tex dpi="130">n</tex> вершинами. <tex dpi="130">D=Pair(T, T)</tex> {{---}} множество всех пар из данных деревьев. Чтобы получить двоичное дерево из <tex dpi="130">n</tex> вершин, достаточно взять <tex dpi="130">1</tex> вершину и подвесить к ней левого и правого сына с суммарным количеством вершин <tex dpi="130">n-1</tex>. Тогда:
:<tex dpi="150">T_{n}=D_{n-1}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}T_{i}T_{n-i-1}=C_{n}</tex>, где <tex dpi="150">C_{n}</tex> {{---}} <tex dpi="150">n</tex>-ое [[Числа Каталана|число Каталана]].
= Помеченные деревья =
{{Теорема
|author=Формула Кэли
|statement=Число помеченных деревьев порядка <tex>n</tex> равно <tex>n^{n - 2}</tex>.
|proof=
Можно доказать формулу двумя способами.
''Первый способ.''
Так как между помеченными деревьями порядка <tex>n</tex> и последовательностями длины <tex>n - 2</tex> из чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> существует биекция ([[Коды Прюфера|Код Прюфера]]), то количество помеченных деревьев совпадает с количеством последовательностей длины <tex>n - 2</tex> из чисел от <tex>1</tex> до <tex>n = n^{n - 2}</tex>.
''Второй способ.''
С помощью [[Подсчет числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа |матрицы Кирхгофа]] для полного графа на <tex>n</tex> вершинах. Число помеченных деревьев порядка <tex>n</tex>, очевидно, равно числу остовов в полном графе <tex>K_n</tex>, которое есть <tex>n^{n-2}</tex> по следствию теоремы Кирхгофа.
}}
== Подвешенные непомеченные деревьея с порядком на детях ==
Пусть <tex dpi="130">T_{n}</tex> {{---}} количество таких деревьев с <tex dpi="130">n</tex> вершинами. <tex dpi="130">S=Seq(A)</tex> {{---}} множество всех последовательностей из данных деревьев. <tex dpi="130">S_{n}</tex> {{---}} количество последовательностей с суммарным количество вершин <tex dpi="130">n</tex>. Чтобы получить дерево из <tex dpi="130">n</tex> вершин, достаточно взять <tex dpi="130">1</tex> вершину, и подвесить к ней последовательность деревьев с суммарным количеством вершин <tex dpi="130">n-1</tex>. Тогда:
:<tex dpi="150">T_{n}=S_{n-1}</tex>.
:<tex dpi="150">S_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} T_{i} S_{n-i}=\sum\limits_{i=1}^{n} S_{i-1} S_{n-i}=\sum\limits_{i=0}^{n-1} S_{i} S_{n-i-1}=C_{n}</tex>, где <tex dpi="150">C_{n}</tex> {{---}} <tex dpi="150">n</tex>-ое [[Числа Каталана|число Каталана]].
[[File:Sequence_of_rooted_Trees.png|750px]]
[[File:Ordered_Rooted_Trees.png|700px]]
== Подвешенные непомеченные деревья без порядка на детях ==
Пусть <tex dpi="130">T_{n}</tex> {{---}} количество таких деревьев с <tex dpi="130">n</tex> вершинами. <tex dpi="130">F=MSet(T)</tex> {{---}} множество всех лесов из данных деревьев, так как лес можно интерпретировать как мультимножество из деревьев. <tex dpi="130">F_{n}=f_{n,n}</tex> {{---}} количество лесов с суммарным количество вершин <tex dpi="130">n</tex>. <tex dpi="130">f_{n, k}</tex> {{---}} количество таких лесов из <tex dpi="130">n</tex> вершин, что деревья в них содержат не более чем <tex dpi="130">k</tex> вершин. Чтобы получить дерево из <tex dpi="130">n</tex> вершин, достаточно взять <tex dpi="130">1</tex> вершину и подвесить к ней лес деревьев с суммарным количеством вершин <tex dpi="130">n-1</tex>. Тогда:
:<tex dpi="150">T_{n}=F_{n-1}</tex>.
:<tex dpi="150">F_{n}=f_{n, n}</tex>.
:<tex dpi="150">f{n,k}=\sum\limits_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \binom{T_{k}+i-1}{i} s_{n-ik, k-1}</tex>.
Количество таких деревьев с <tex dpi="130">n</tex> вершинами образуют последовательность <tex dpi="130"> 1, 1, 2, 4, 9, 20, 48, 115, 286, 719, 1842, 4766, 12486, 32973, 87811, 235381, 634847 \ldots</tex> <ref>[http://oeis.org/A000081 Number of unlabeled rooted trees with n node]</ref>
[[File:Forests.png|670px]]
[[File:Rooted_Trees.png|700px]]
= См.также =
*[[Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа]]
*[[Числа Каталана]]
*[[Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке]]
Описание всех используемых далее комбинаторных объектов можно найти в статье [[Конструирование комбинаторных объектов и их подсчёт|Конструирование комбинаторных объектов и их подсчёт]].
= Непомеченные деревья =
== Подвешенные неполные двоичные деревья ==
Пусть <tex dpi="130">T_{n}</tex> {{---}} количество таких деревьев с <tex dpi="130">n</tex> вершинами. <tex dpi="130">D=Pair(T, T)</tex> {{---}} множество всех пар из данных деревьев. Чтобы получить двоичное дерево из <tex dpi="130">n</tex> вершин, достаточно взять <tex dpi="130">1</tex> вершину и подвесить к ней левого и правого сына с суммарным количеством вершин <tex dpi="130">n-1</tex>. Тогда:
:<tex dpi="150">T_{n}=D_{n-1}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}T_{i}T_{n-i-1}=C_{n}</tex>, где <tex dpi="150">C_{n}</tex> {{---}} <tex dpi="150">n</tex>-ое [[Числа Каталана|число Каталана]].
= Помеченные деревья =
{{Теорема
|author=Формула Кэли
|statement=Число помеченных деревьев порядка <tex>n</tex> равно <tex>n^{n - 2}</tex>.
|proof=
Можно доказать формулу двумя способами.
''Первый способ.''
Так как между помеченными деревьями порядка <tex>n</tex> и последовательностями длины <tex>n - 2</tex> из чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> существует биекция ([[Коды Прюфера|Код Прюфера]]), то количество помеченных деревьев совпадает с количеством последовательностей длины <tex>n - 2</tex> из чисел от <tex>1</tex> до <tex>n = n^{n - 2}</tex>.
''Второй способ.''
С помощью [[Подсчет числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа |матрицы Кирхгофа]] для полного графа на <tex>n</tex> вершинах. Число помеченных деревьев порядка <tex>n</tex>, очевидно, равно числу остовов в полном графе <tex>K_n</tex>, которое есть <tex>n^{n-2}</tex> по следствию теоремы Кирхгофа.
}}
== Подвешенные непомеченные деревьея с порядком на детях ==
Пусть <tex dpi="130">T_{n}</tex> {{---}} количество таких деревьев с <tex dpi="130">n</tex> вершинами. <tex dpi="130">S=Seq(A)</tex> {{---}} множество всех последовательностей из данных деревьев. <tex dpi="130">S_{n}</tex> {{---}} количество последовательностей с суммарным количество вершин <tex dpi="130">n</tex>. Чтобы получить дерево из <tex dpi="130">n</tex> вершин, достаточно взять <tex dpi="130">1</tex> вершину, и подвесить к ней последовательность деревьев с суммарным количеством вершин <tex dpi="130">n-1</tex>. Тогда:
:<tex dpi="150">T_{n}=S_{n-1}</tex>.
:<tex dpi="150">S_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} T_{i} S_{n-i}=\sum\limits_{i=1}^{n} S_{i-1} S_{n-i}=\sum\limits_{i=0}^{n-1} S_{i} S_{n-i-1}=C_{n}</tex>, где <tex dpi="150">C_{n}</tex> {{---}} <tex dpi="150">n</tex>-ое [[Числа Каталана|число Каталана]].
[[File:Sequence_of_rooted_Trees.png|750px]]
[[File:Ordered_Rooted_Trees.png|700px]]
== Подвешенные непомеченные деревья без порядка на детях ==
Пусть <tex dpi="130">T_{n}</tex> {{---}} количество таких деревьев с <tex dpi="130">n</tex> вершинами. <tex dpi="130">F=MSet(T)</tex> {{---}} множество всех лесов из данных деревьев, так как лес можно интерпретировать как мультимножество из деревьев. <tex dpi="130">F_{n}=f_{n,n}</tex> {{---}} количество лесов с суммарным количество вершин <tex dpi="130">n</tex>. <tex dpi="130">f_{n, k}</tex> {{---}} количество таких лесов из <tex dpi="130">n</tex> вершин, что деревья в них содержат не более чем <tex dpi="130">k</tex> вершин. Чтобы получить дерево из <tex dpi="130">n</tex> вершин, достаточно взять <tex dpi="130">1</tex> вершину и подвесить к ней лес деревьев с суммарным количеством вершин <tex dpi="130">n-1</tex>. Тогда:
:<tex dpi="150">T_{n}=F_{n-1}</tex>.
:<tex dpi="150">F_{n}=f_{n, n}</tex>.
:<tex dpi="150">f{n,k}=\sum\limits_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \binom{T_{k}+i-1}{i} s_{n-ik, k-1}</tex>.
Количество таких деревьев с <tex dpi="130">n</tex> вершинами образуют последовательность <tex dpi="130"> 1, 1, 2, 4, 9, 20, 48, 115, 286, 719, 1842, 4766, 12486, 32973, 87811, 235381, 634847 \ldots</tex> <ref>[http://oeis.org/A000081 Number of unlabeled rooted trees with n node]</ref>
[[File:Forests.png|670px]]
[[File:Rooted_Trees.png|700px]]
= См.также =
*[[Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа]]
*[[Числа Каталана]]
*[[Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке]]
