693
правки
Изменения
→Вычисление коэффициентов ряда \dfrac{1}{(1-t)^2} с помощью теоремы о связи рекуррентности и рациональности
Итак, коэффициенты <tex>A(t)</tex> задаются соотношением
:<tex>a_0=1</tex>, <tex>a_1=2</tex>,
:<tex>a_n=2\cdot a_{n-1} - a_{n-2},\ n\geq geqslant 2</tex>.
Известно, что <tex>\dfrac{1}{(1-t)^2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+1)\cdot t^n}</tex>. Такой результат можно получить, например, продифференцировав ряд функции <tex>\dfrac{1}{1-t}</tex>. Проверим, что нахождение рекуррентного соотношения для исходной дроби даёт такой же результат, то есть для всех <tex>n</tex> выполняется <tex>a_{n}=n+1</tex>.
* Для начальных значений равенства выполнены: <tex>a_0=1=0+1</tex>, <tex>a_1=2=1+1</tex>;
<!------*: Чтобы узнать, работает ли формула для <tex>n</tex>, больших <tex>2</tex> найдём <tex>a_2</tex>: <tex>a_2 = 2a_1 - a_0 = 2\cdot 2 - 1 = 3 = 2+1</tex>.-------->
* Будем считать предыдущие равенства базой индукции. То есть существует такое число <tex>n\geq geqslant 1</tex>, что до него проверяемая формула работала. Для следующего числа <tex>n+1</tex> верно <tex>a_{n+1}=2\cdot a_{n} - a_{n-1}</tex>. Предыдущие значения известны. Они подчинялись равенству <tex>a_{n}=n+1</tex>. Раскроем формулу:
*: <tex>a_{n+1}=2\cdot a_{n} - a_{n-1} = 2\cdot (n+1) - n = 2\cdot n + 2 - n = n+2 = (n+1) + 1</tex>.
: Методом математической индукции показали, что нет такого <tex>n</tex>, на котором действие формулы <tex>a_{n}=n+1</tex> заканчивается, и установили, что результаты нахождения коэффициентов <tex>A(t)</tex> методами дифференцирования и выражения через рекуррентную связь совпали.
