7
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Утверждение
|statement=Число помеченных корневых деревьев с <tex>k</tex> листьями и <tex>m</tex> вершинами есть <tex>P_{m,k} = k\cdot P_{m-1,k}+(m-k))\cdot P_{m-1,k-1}</tex>.<br>
Причем номер предка всегда меньше номера вершины. <tex>P_{i,i} = 0, \forall i \in N</tex>; <tex>P_{i,0} = 0, \forall i \in N, i \neq 1 </tex><br><br> '''не очень понятно. это ограничение или тебе так удобнее считать? базу утверждения лучше вынести в другое место''''''Базу вынес. То что номер предка всегда меньше номера вершины - это ограничение.'''
|proof =
База утверждения <tex>P_{i,i} = 0, \forall i \in N</tex>; <tex>P_{i,0} = 0, \forall i \in N, i \neq 1 </tex><br>Рассмотрим каждое слагаемое в данной формуле<tex>P_{m,k} = k\cdot P_{m-1,k}+(m-k))\cdot P_{m-1,k-1}</tex> :<br>
1) <tex>k\cdot P_{m-1,k}</tex> обозначает, что мы можем подвесить ещё одну вершину к любому из <tex>k</tex> листьев. Тогда количество листьев не изменится, а количество вершин увеличится на одну.<br>
2) <tex>(m-k)\cdot P_{m-1,k-1}</tex> обозначает, что мы можем подвесить ещё одну вершину к любой вершине, не являющийся листом. Таких вершин <tex>(m-k)</tex>. Тогда количество листьев и количество вершин увеличится на один.<br>
}}
'''то есть получается, что это просто реккурента? А нет более интересных результатов, типа комбинаторного представления\производящей функции?'''<br>'''Да, это реккурента, но по ней же можно посчитать количество таких объектов.'''<br>'''Комбинаторное представление можно так записать : <tex>P_{m} = z\times P_{m-1}</tex> , где <tex>P_{i}</tex> - количество деревьев с <tex>i</tex> вершинами, причем <tex>P_{0} = \varepsilon</tex>.'''<br>'''А вот ПФ с двумя переменными не знаю как вывести.'''<br>
Пример <br>
[[Файл:0List.png|100px]] <tex>m=1</tex> [[Файл:1List.png|100px]] <tex>m=2</tex> [[Файл:2List.png|400px]] <tex>m=3</tex> [[Файл:3List.png|600px]] <tex>m=4</tex> <br>
