195
правок
Изменения
Initial conspect
==Метод производящих функций==
Такие большие группы часто анализируют с помощью [[Производящая функция|производящих функций]]. Один из популярных методов {{---}} метод символов <ref>[[wikipedia:Symbolic method (combinatorics) | Wikipedia {{---}} Symbolic method]]</ref>. Он использует внутреннюю структуру объектов для получения производящих функций. В случае непомеченных объектов, как и в анализе в нашей статье, считается, что нет объектов нулевого веса. Иногда для удобства их добавляют, чтобы показать наличие одного пустого множества.
При непомеченных объектах рассмотренные классы имеют следующие производящие функции:
{| class="wikitable"
|-align="center"
!<tex dpi="130">Seq(A)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{1}{1-A(z)}</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">PSet(A)</tex>||<tex dpi="130">\prod\limits_{n \geqslant 1}(1+z^{n})^{A_{n}}=\exp(-\sum\limits_{k \geqslant 1}\dfrac{(-1)^{k}A(z^{k})}{k})</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">MSet(A)</tex>||<tex dpi="130">\prod\limits_{n \geqslant 1}\dfrac{1}{(1-z^{n})^{A_{n}}}=\exp(\sum\limits_{k \geqslant 1}\dfrac{A(z^{k})}{k})</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">Pair(A,B)</tex>||<tex dpi="130">A(z)B(z)</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">Cycle(A)</tex>||<tex dpi="130">\sum\limits_{n \geqslant 1}\dfrac{\phi(n)}{n}\ln\dfrac{1}{1 - A(z^n)}</tex>, где <tex dpi="130">\phi(n)</tex> {{---}} [[Функция_Эйлера | функция Эйлера]].
|}
Однако порой некоторые комбинаторные классы удобнее обозначать как помеченные. Например, {{---}} помеченные графы. С помеченными объектами используется экспоненциальная производящая функция <ref>[[wikipedia:exponential generating function | Wikipedia {{---}} Exponential generating function]]</ref>. В данном случае для некоторых рассмотренных классов используются следующие производящие функции:
{| class="wikitable"
|-align="center"
!<tex dpi="130">Seq(A)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{1}{1-A(z)}</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">Pset(A)</tex>||<tex dpi="130">\exp(A(z))</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">Pair(A,B)</tex>||<tex dpi="130">A(z)B(z)</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">Cycle(A)</tex>||<tex dpi="130">\ln\dfrac{1}{1-A(z)}</tex>.
|}
===Ограниченные конструкции===
Иногда в анализе необходимо ввести ограничение на количество компонентов. Такой случай обозначается нижним коэффициентом (например, <tex dpi="130">Seq_{k}(A)</tex> {{---}} <tex dpi="130">k</tex> компонентов).
Непосредственной формулой для производящих функций является диагональ <tex dpi="130">\Delta</tex> декартова произведения <ref>[[wikipedia:Cartesian product | Wikipedia {{---}} Декартово произведение]]</ref> <tex dpi="130">A \times A</tex>, определяемая как <tex dpi="130">B \equiv \Delta(A \times A) : \{(a, a) \mid a \in A\}</tex>. Тогда имеет место соотношение <tex dpi="130">B(z)=A(z^{2})</tex>.
Диагональная конструкция позволяет получить доступ к классу всех неупорядоченных пар из различных элементов из <tex dpi="130">A</tex>, то есть к <tex dpi="130">P = PSet_{2}(A)</tex>. Прямое выражение выполняется следующим способом: неупорядоченная пара <tex dpi="130">\langle \alpha, \beta \rangle </tex> связана с двумя упорядоченными парами <tex dpi="130">(\langle \alpha, \beta \rangle </tex> и <tex dpi="130">\langle \beta, \alpha \rangle )</tex>, кроме тех случаев, когда <tex dpi="130">\alpha = \beta</tex>, то есть когда пара лежит на диагонали декартова произведения. Другими словами, <tex dpi="130">PSet_{2}(A) + PSet_{2}(A) + \Delta(A \times A) \cong A \times A</tex>.
Это, в свою очередь, означает что <tex dpi="130">2P(z) + A(z^{2}) = A(z)^{2}</tex>. Таким образом можно выразить <tex dpi="130">PSet_{2}(A)</tex>. Аналогично для <tex dpi="130">Seq_{2}(A)</tex>, <tex dpi="130">MSet_{2}(A)</tex> и <tex dpi="130">Cycle_{2}(A)</tex>:
{| class="wikitable"
|-align="center"
!<tex dpi="130">Seq_{2}(A)</tex>||<tex dpi="130>A(z)^{2}</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">PSet_{2}(A)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{A(z)^{2}}{2}-\dfrac{A(z^{2})}{2}</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">MSet_{2}(A)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{A(z)^{2}}{2}+\dfrac{A(z^{2})}{2}</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">Cycle_{2}(A)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{A(z)^{2}}{2}+\dfrac{A(z^{2})}{2}</tex>
|}
Аналогичные рассуждения можно провести и для больших <tex dpi="130">k</tex>, однако расчеты быстро становятся сложными. Классический способ исправления таких вопросов {{---}} [[Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа#Теорема Пойа | теорема Пойа]].
Однако в методе символов предлагается более глобальный подход, основанный на многомерных производящих функциях и использующий ряд Бюрмана-Лагранжа <ref>[[wikipedia:Lagrange inversion theorem | Wikipedia {{---}} Lagrange inversion theorem]]</ref>. В общем случае, используя метод символов, производящие функции ограниченных конструкций можно подсчитать следующим способом:
{| class="wikitable"
|-align="center"
!<tex dpi="130">Seq_{k}(A)</tex>||<tex dpi="130">A(z)^{k}</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">PSet_{k}(A)</tex>||<tex dpi="130">[u^{k}]\exp(-\sum\limits_{i=1}^{k}\dfrac{(-1)^{i}u^{i}A(z^{i})}{i})</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">MSet_{k}(A)</tex>||<tex dpi="130">[u^{k}]\exp(\sum\limits_{i=1}^{k}\dfrac{u^{i}A(z^{i})}{i})</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">Cycle_{k}(A)</tex>||<tex dpi="130">[u^{k}]\sum\limits_{i \geqslant 1}\dfrac{\phi(i)}{i}\ln\dfrac{1}{1 - u^{i}A(z^i)}</tex>, где <tex dpi="130">\phi(n)</tex> {{---}} [[Функция_Эйлера | функция Эйлера]].
|}
Такие большие группы часто анализируют с помощью [[Производящая функция|производящих функций]]. Один из популярных методов {{---}} метод символов <ref>[[wikipedia:Symbolic method (combinatorics) | Wikipedia {{---}} Symbolic method]]</ref>. Он использует внутреннюю структуру объектов для получения производящих функций. В случае непомеченных объектов, как и в анализе в нашей статье, считается, что нет объектов нулевого веса. Иногда для удобства их добавляют, чтобы показать наличие одного пустого множества.
При непомеченных объектах рассмотренные классы имеют следующие производящие функции:
{| class="wikitable"
|-align="center"
!<tex dpi="130">Seq(A)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{1}{1-A(z)}</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">PSet(A)</tex>||<tex dpi="130">\prod\limits_{n \geqslant 1}(1+z^{n})^{A_{n}}=\exp(-\sum\limits_{k \geqslant 1}\dfrac{(-1)^{k}A(z^{k})}{k})</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">MSet(A)</tex>||<tex dpi="130">\prod\limits_{n \geqslant 1}\dfrac{1}{(1-z^{n})^{A_{n}}}=\exp(\sum\limits_{k \geqslant 1}\dfrac{A(z^{k})}{k})</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">Pair(A,B)</tex>||<tex dpi="130">A(z)B(z)</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">Cycle(A)</tex>||<tex dpi="130">\sum\limits_{n \geqslant 1}\dfrac{\phi(n)}{n}\ln\dfrac{1}{1 - A(z^n)}</tex>, где <tex dpi="130">\phi(n)</tex> {{---}} [[Функция_Эйлера | функция Эйлера]].
|}
Однако порой некоторые комбинаторные классы удобнее обозначать как помеченные. Например, {{---}} помеченные графы. С помеченными объектами используется экспоненциальная производящая функция <ref>[[wikipedia:exponential generating function | Wikipedia {{---}} Exponential generating function]]</ref>. В данном случае для некоторых рассмотренных классов используются следующие производящие функции:
{| class="wikitable"
|-align="center"
!<tex dpi="130">Seq(A)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{1}{1-A(z)}</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">Pset(A)</tex>||<tex dpi="130">\exp(A(z))</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">Pair(A,B)</tex>||<tex dpi="130">A(z)B(z)</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">Cycle(A)</tex>||<tex dpi="130">\ln\dfrac{1}{1-A(z)}</tex>.
|}
===Ограниченные конструкции===
Иногда в анализе необходимо ввести ограничение на количество компонентов. Такой случай обозначается нижним коэффициентом (например, <tex dpi="130">Seq_{k}(A)</tex> {{---}} <tex dpi="130">k</tex> компонентов).
Непосредственной формулой для производящих функций является диагональ <tex dpi="130">\Delta</tex> декартова произведения <ref>[[wikipedia:Cartesian product | Wikipedia {{---}} Декартово произведение]]</ref> <tex dpi="130">A \times A</tex>, определяемая как <tex dpi="130">B \equiv \Delta(A \times A) : \{(a, a) \mid a \in A\}</tex>. Тогда имеет место соотношение <tex dpi="130">B(z)=A(z^{2})</tex>.
Диагональная конструкция позволяет получить доступ к классу всех неупорядоченных пар из различных элементов из <tex dpi="130">A</tex>, то есть к <tex dpi="130">P = PSet_{2}(A)</tex>. Прямое выражение выполняется следующим способом: неупорядоченная пара <tex dpi="130">\langle \alpha, \beta \rangle </tex> связана с двумя упорядоченными парами <tex dpi="130">(\langle \alpha, \beta \rangle </tex> и <tex dpi="130">\langle \beta, \alpha \rangle )</tex>, кроме тех случаев, когда <tex dpi="130">\alpha = \beta</tex>, то есть когда пара лежит на диагонали декартова произведения. Другими словами, <tex dpi="130">PSet_{2}(A) + PSet_{2}(A) + \Delta(A \times A) \cong A \times A</tex>.
Это, в свою очередь, означает что <tex dpi="130">2P(z) + A(z^{2}) = A(z)^{2}</tex>. Таким образом можно выразить <tex dpi="130">PSet_{2}(A)</tex>. Аналогично для <tex dpi="130">Seq_{2}(A)</tex>, <tex dpi="130">MSet_{2}(A)</tex> и <tex dpi="130">Cycle_{2}(A)</tex>:
{| class="wikitable"
|-align="center"
!<tex dpi="130">Seq_{2}(A)</tex>||<tex dpi="130>A(z)^{2}</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">PSet_{2}(A)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{A(z)^{2}}{2}-\dfrac{A(z^{2})}{2}</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">MSet_{2}(A)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{A(z)^{2}}{2}+\dfrac{A(z^{2})}{2}</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">Cycle_{2}(A)</tex>||<tex dpi="130">\dfrac{A(z)^{2}}{2}+\dfrac{A(z^{2})}{2}</tex>
|}
Аналогичные рассуждения можно провести и для больших <tex dpi="130">k</tex>, однако расчеты быстро становятся сложными. Классический способ исправления таких вопросов {{---}} [[Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа#Теорема Пойа | теорема Пойа]].
Однако в методе символов предлагается более глобальный подход, основанный на многомерных производящих функциях и использующий ряд Бюрмана-Лагранжа <ref>[[wikipedia:Lagrange inversion theorem | Wikipedia {{---}} Lagrange inversion theorem]]</ref>. В общем случае, используя метод символов, производящие функции ограниченных конструкций можно подсчитать следующим способом:
{| class="wikitable"
|-align="center"
!<tex dpi="130">Seq_{k}(A)</tex>||<tex dpi="130">A(z)^{k}</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">PSet_{k}(A)</tex>||<tex dpi="130">[u^{k}]\exp(-\sum\limits_{i=1}^{k}\dfrac{(-1)^{i}u^{i}A(z^{i})}{i})</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">MSet_{k}(A)</tex>||<tex dpi="130">[u^{k}]\exp(\sum\limits_{i=1}^{k}\dfrac{u^{i}A(z^{i})}{i})</tex>
|-align="center"
!<tex dpi="130">Cycle_{k}(A)</tex>||<tex dpi="130">[u^{k}]\sum\limits_{i \geqslant 1}\dfrac{\phi(i)}{i}\ln\dfrac{1}{1 - u^{i}A(z^i)}</tex>, где <tex dpi="130">\phi(n)</tex> {{---}} [[Функция_Эйлера | функция Эйлера]].
|}
