Изменения
Нет описания правки
В комбинаторике, особенно в аналитической комбинаторике, [https://en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_method_(combinatorics) символьный метод] - это метод подсчета [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Комбинаторные_объекты комбинаторных объектов]. Он использует внутреннюю структуру объектов для получения формул их [[Производящая функция|производящих функций]]. Этот метод в основном связан с [https://en.wikipedia.org/wiki/Philippe_Flajolet Филиппом Флайоле] и подробно описан в части A его книги с [https://ru.wikipedia.org/wiki/Седжвик,_Роберт Робертом Седжвиком] "Аналитическая комбинаторика"<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_Combinatorics "Аналитическая комбинаторика"]</ref>. ==Базовые определения=Непомеченные комбинаторные объекты=
Каждый комбинаторный объект состоит из атомов.
У атомов определен вес <tex dpi="130">w</tex>. Вес объектов равен сумме весов составляющих его атомов.
{{Определение|definition=Считающей последовательностью называется последовательность <tex dpi="130">w(\bullet)left \{ a_0, a_1, ..., a_n \right \}</tex>, где <tex dpi=1"130">a_i</tex> {{---}} количество объектов веса <tex dpi="130">i</tex>.}}
Обозначим <tex dpi="130350">w(\circ)[t_n]</tex> как оператор взятия <tex dpi=0"350">n</tex>-того коэффициента производящей функции.
{{Определение
|definition=
}}
=Непомеченные комбинаторные объекты= Введём атомы <tex dpi="350">\bullet</tex> и <tex dpi="350">\circ</tex> следующим образом: <tex dpi="130">w(\bullet)=1</tex> <tex dpi="130">w(\circ)=0</tex> Производящую функцию класса <tex dpi="130">A</tex> обозначим <tex dpi="130">A(t)=\sum_{i=0}^{\infty }a_i t^i</tex>, если <tex dpi="350">\{a_i\}</tex> {{---}} считающая последовательность этого класса.
{{Определение
Считающая последовательность: <tex dpi="130">\left \{ 0, 1, 0, ..., 0 \right \}</tex>.
Производящая функция последовательности: <tex dpi="130">Z(t)=t</tex>.
Считающая последовательность: <tex dpi="130">\left \{ 1, 0, ..., 0 \right \}</tex>.
Производящая функция последовательности: <tex dpi="130">\varepsilon(t)=1</tex>.
==Объединение комбинаторных классов==
{{Определение
|definition=
Объединением комбинаторных классов <tex dpi="350">A</tex> и <tex dpi="350">B</tex> называется комбинаторный класс <tex dpi="350">C=A \cup B=A+B=\left \{ c \mid c \in A \vee c \in B \right \}</tex>, состоящий из элементов обоих классов, причем равные объекты разных классов объявляются разными.
}}
<tex dpi="350">c_n=a_n+b_n</tex>
<tex dpi="350">C(t)=\left ( \sum_{i=0}^{\infty}a_i \cdot t^i \right ) + \left ( \sum_{i=0}^{\infty}b_i \cdot t^i \right ) = \sum_{i=0}^{\infty}(a_i + b_i)\cdot t^i =A(t)+B(t)</tex>
==Пары комбинаторных классов (декартово произведение комбинаторных классов)==
{{Утверждение
|statement=<tex dpi="350">C(t)=A(t) \cdot B(t)</tex>|proof=Верно, потому что коэффициенты производящей функции описываются описываются равенством выше)<ref>[[Арифметические действия с формальными степенными рядами]]</ref>
}}
==Последовательности комбинаторных классов==
===Ограниченная конструкция===
{{Определение
'''Переход'''.
:Пусть для <tex dpi="350">k=n</tex> верно <tex dpi="350">Seq_n(A)(t)=A(t)^n</tex>. Докажем для <tex dpi="350">k=n+1</tex>: <tex dpi="350">Seq_{n+1}(A)(t)=A(t)^{n+1}</tex>. Рассмотрим <tex dpi="350">Seq_{n+1}(A)</tex> как <tex dpi="350">Pair(Seq_n(A), A)</tex>. Тогда <tex dpi="350">Seq_{n+1}(A)(t)=A(t)^n \cdot A(t)=A(t)^{n+1}</tex>.
}}
===Неограниченная конструкция===
{{Определение
|definition=
Последовательностью ''(всех возможных длин)'' объектов из <tex dpi="350">A</tex> называется <tex dpi="350">B=Seq(A)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)</tex>.
}}
'''Ограничение:''' <tex dpi="350">a_0=0</tex>(также можно встретить <tex dpi="350">A_0=0</tex>). Этому есть как техническое, так и комбинаторное объяснение.
* Технически, если <tex dpi="350">a_0>1</tex>, то мы будем делить на отрицательное число; если <tex dpi="350">a_0=1</tex>, то на функцию, у которой свободный член <tex dpi="350">0</tex>, {{---}} что формализм производящих функций сделать не позволяет.
* Комбинаторное объяснение заключается в том, что если объектов веса ноль более 0, то мы можем создать бесконечное количество последовательностей веса 0 (комбинируя такие объекты), а мы хотим работать с конечными количествами последовательностей.
** <tex dpi="350">Seq_{\geq 3}=Pair(Seq_3(A), Seq(A))=Seq(A)-Seq_0(A)-Seq_1(A)-Seq_2(A)</tex>
** <tex dpi="350">Seq_{\geq 3}(t)=Pair(Seq_3(A), Seq(A))(t)=A(t)^3 \cdot \frac{1}{1-A(t)}=\frac{A(t)^3}{1-A(t)}=(Seq(A)-Seq_0(A)-Seq_1(A)-Seq_2(A))(t)=\frac{1}{1-A(t)}-0-A(t)-A(t)^2</tex>
* Последовательности чётной длины:
** <tex dpi="350">Seq_{\vdots 2}(A)=Seq(Pair(A, A))</tex>
** <tex dpi="350">Seq_{\vdots 2}(A)(t)=Seq(Pair(A, A))(t)=\frac{1}{1-A\left (t)^2\right )}</tex>
==Комбинаторный объект класс "Натуральные числа"==
Вес числа равен его значению. Каждое натуральное число встречается 1 раз.
<tex dpi="350">w(n)=n</tex>
Класс "Натуральные числа" принято обозначать <tex dpi="350">I</tex>.
Считающая последовательность {{---}}
<tex dpi="350">c_n=\left\{\begin{matrix}
0, n=0\\
\end{matrix}\right.</tex>
{{Утверждение|statement=<tex dpi="350">I(t)=\frac{t}{1 - t}</tex>|proof=Производящей функцией последовательности из <tex dpi="350">1</tex> явлется <tex>Seq(\{1\})=\frac{1}{1-t}</tex>. Чтобы получить производящую функцию класса натуральных чисел, произведем сдвиг вправо по правилам работы со степенными рядами:<tex dpi="350">t \cdot I(t) = t \cdot \frac{1}{1 - t} = \frac{t}{1 - t}</tex>}} ===Применение===
<tex dpi="350">Seq(I)</tex> {{---}} упорядоченное [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|разбиение натуральных чисел на слагаемые]].
Тогда производящая функция {{---}} <tex dpi="350">Seq(I)(t)=\frac{1}{1-\frac{t}{1-t}}=\frac{1-t}{1-2t}=\frac{1}{1-2t}-\frac{t}{1-2t}</tex>
<tex dpi="350">\left [ t^n \right ] \frac{1-t}{1-2t} = \left\{\begin{matrix}2 ^ n - 2 ^ {n - 1} = \left\{\begin{matrix}2 ^ {n - 1}, n > 0
\\
1, n = 0
\end{matrix}\right.</tex>, потому что <tex dpi="350">\frac{1}{1-2t}</tex> соответсвует ряду степеней <tex dpi="350">2</tex>, а <tex dpi="350">\frac{1}{1-2t}</tex> {{---}} ряду <tex dpi="350">2^{x-1}</tex>. ==Множества== {{Определение|definition=Множества <tex dpi="350">Set(A)</tex> {{---}} последовательности без повторений и порядка элементов.}}{{Утверждение|statement=<tex dpi="350">Set(A)=\prod_{\alpha \in A}\left(\varepsilon+\left \{ \alpha \right \}\right )</tex>|proof=Докажем по индукции по потенциальным элементам множеств <tex dpi="350">A</tex>. '''База''' <tex dpi="350">A=\varnothing</tex> <tex dpi="350">Set(\varnothing)=\varepsilon=\prod_{\alpha\in A}\varepsilon</tex> '''Переход''' Пусть верно для множества <tex dpi="350">A_1</tex>, докажем, что будет верно и для множества и <tex dpi="350">A_1+\{\alpha\}</tex>, где <tex dpi="350">\alpha\in A\setminus A_1</tex>В множестве каждый элемент может либо присутствовать, либо отсутствовать, поэтому <tex dpi="350">Set(A_1+\{\alpha\})=Set(A_1)+Set(A_1)\times\{\alpha\}=Set(A_1)(\varepsilon + \alpha)</tex>.}} ====Пример====* <tex dpi="350">A = \left \{ \alpha, \beta, \gamma \right \}</tex>* <tex dpi="350">Set(A) = \left \{ \varnothing, \left \{ \alpha \right \}, \left \{ \beta\right \}, \left \{ \gamma \right \}, \left \{ \alpha, \beta\right \}, \left \{ \alpha, \gamma \right \}, \left \{ \beta, \gamma \right \}, \left \{ \alpha, \beta, \gamma \right \} \right \}</tex> <tex dpi="350">Set(A)(t)=\prod_{\alpha \in A}\left(\varepsilon+\left \{ \alpha \right \}\right )(t)=\prod_{\alpha \in A}(1+t^{w(\alpha)})=\prod_{n=0}^{\infty}(1+t^n)^{a_n}</tex> ==Мультимножества== {{Определение|definition=Мультимножества <tex dpi="350">MSet(A)</tex> {{---}} последовательности с повторениями, но без порядка элементов.}}Как и с <tex dpi="350">Seq(A)</tex> существует ограничение на <tex dpi="350">A</tex>: <tex dpi="350">a_0=A(0)=0</tex>.{{Утверждение|statement=<tex dpi="350">MSet(A)=\prod_{\alpha \in A}Seq(\left \{ \alpha \right \})</tex>|proof=Докажем по индукции по потенциальным элементам множеств <tex dpi="350">A</tex>. '''База''' <tex dpi="350">A=\varnothing</tex> <tex dpi="350">MSet(\varnothing)=\varepsilon=\prod_{\alpha\in A}\varepsilon</tex> '''Переход''' Отличие от множеств в том, что здесь каждый элемент может присутствовать в любом неотрицательном количестве экземпляров, поэтому для каждого элемента <tex dpi="350">\alpha</tex> берется <tex dpi="350">Seq(\{\alpha\})</tex> Пусть верно для мультимножества <tex dpi="350">A_1</tex>, докажем, что будет верно и для мультимножества и <tex dpi="350">A_1+Seq_{\geq1}(\{\alpha\})</tex>, где <tex dpi="350">\alpha\in A\setminus A_1</tex><tex dpi="350">MSet(A_1+\{\alpha\})=MSet(A_1)+MSet(A_1)\times\{\alpha\}\times Seq_{\geq 1}(\{\alpha \})=MSet(A_1)\cdot Seq(\{\alpha\})</tex>.}} <tex dpi="350">MSet(A)(t)=\prod_{\alpha \in A}Seq(\left \{ \alpha \right \})(t)=\prod_{\alpha \in A}\frac{1}{1-t^{w(\alpha)}}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1-t^n}\right)^{a_n}</tex> =Помеченные объекты= Как можно заметить, для некоторых операторов, например, <tex dpi="350">Set</tex> и <tex dpi="350">MSet</tex> не существует замкнутых формул, поэтому их объекты удобнее обозначать как помеченные. С помеченными объектами используется [https://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function#Exponential_generating_function_(EGF) экспоненциальная производящая функция].
Напомним, что если <tex dpi="350">\left \{ a_i \right \}</tex> {{----}} считающая последовательность, то производящие функции выражаются следующим образом:
{| class="wikitable"
|-
| Обычная || <tex dpi="350">ogf(t) = \sum_{i=0}^{\infty}a_it^i</tex>
|-
| Экспоненциальная || <tex dpi="350">egf(t) = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{a_it^i}{n!}</tex>
|}
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex dpi="150350">Seq(A)(t)</tex> {{---}} экспоненциальная производящая функция последовательности <tex dpi="350">\frac{1a_0, a_1, ..., a_n, ... \}{1-</tex>, тогда <tex dpi="350">A'(t)</tex> {{---}} экспоненциальная производящая функция последовательности <tex dpi="350">B=\{ a_1, a_2, ..., a_n, ... \}</tex>.
|proof=
<tex dpi="350">B(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{i+1}t^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{i+1}t^n(n+1)}{(n+1)!}=A'(t)</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex dpi="350">\left (\int A(t) \right )'=A(t)</tex><ref>[https://youtu.be/UwOjanKAMt0?list=PLrV7qfjOKnis2aCBAVcirxr_oxhNKoO6e&t=2131 Youtube {{---}} Помеченные объекты]</ref>
}}
{{Утверждение|statement=Пусть <tex dpi="130350">A(t)</tex> {{---}} экспоненциальная производящая функция последовательности <tex dpi="350">S_\{0a_0, a_1, ..., a_n, ... \} </tex>, тогда <tex dpi= 1"350">\int A(t)</tex>{{---}} экспоненциальная производящая функция последовательности <tex dpi="350">B=\{ 0, так как есть единственный способ составить пустую последовательностьa_0, a_1, a_2, ..., a_n, ... \}</tex><ref>[https://youtu.be/UwOjanKAMt0?list=PLrV7qfjOKnis2aCBAVcirxr_oxhNKoO6e&t=2131 Youtube {{---}} Помеченные объекты]</ref>}}
}}
==Помеченные объекты==
Помеченные комбинаторные объекты отличаются тем, что все атомы имеет разные значки; Если вес объекта равен <tex dpi="350">n</tex>, то все атомы пронумерованы различными целыми числами от <tex dpi="350">1</tex> до <tex dpi="350">n</tex>.
<tex dpi="130">w(\circ)=0</tex> {{Определение| classdefinition=Комбинаторным объектом <tex dpi="130">Z</tex> называется комбинаторный объект, состоящий из одного атома веса <tex dpi="wikitable130" >1</tex>.|-align<tex dpi="center130" >Z=\left \{ ① \right \}</tex> !<tex dpi="130">SeqZ(At)=t</tex>}}{{Определение||definition=Комбинаторным объектом <tex dpi="130">\varepsilon</tex> называется комбинаторный объект, состоящий из одного атома веса <tex dpi="130">0</tex>. <tex dpi="130">\dfracvarepsilon=\left \{\circ \right \}</tex> <tex dpi="130">\varepsilon(t)=1</tex>}} ==Объединение комбинаторных классов== Одинаковых объектов также нет, мы ставим разные метки на одинаковые объекты из разных классов, чтобы сделать их различными. <tex dpi="350">c_n=a_n+b_n</tex> <tex dpi="350">C(t)=\left ( \sum_{1-i=0}^{\infty}\frac{a_i \cdot t^i}{i!} \right ) + \left ( \sum_{i=0}^{\infty}\frac{b_i \cdot t^i}{i!} \right ) = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(a_i + b_i)\cdot t^i}{i!}=A(zt)+B(t)</tex> ==Пары комбинаторных классов (декартово произведение комбинаторных классов)== Декартово произведение, определенное для непомеченных объектов, нам не даст корректный комбинаторный объект. Пусть <tex dpi="350">A= \{</tex> [[Файл:1-2.png|50px]] <tex dpi="350">\}</tex>,<tex dpi="350">B= \{</tex> [[Файл:1-2-3.png|50px]] <tex dpi="350">\}</tex>. Тогда пара <tex dpi="350">(</tex> [[Файл:1-2.png|50px]] <tex dpi="350">,</tex>[[Файл:1-align2-3.png|50px]]<tex dpi="center350">)</tex> будет иметь вес 5, но атомы не будут иметь различные пометки от 1 до 5. Поэтому введем оператор <tex dpi="350">A \star B</tex>, который# Перебирает все пары из <tex dpi="350">A</tex> и <tex dpi="350">B</tex>. !# В каждой паре перебирает все возможные способы перенумеровать атомы. Нумерация идёт в том же порядке, что и изначальная. То есть для каждого цикла при фиксированном наборе номеров есть ровно 1 способ занумеровать. Таким образом, в классе <tex dpi="350">A \star B</tex> будет лежать <tex dpi="130350">PSet(A</tex> [[Файл:1-2.png|50px]] <tex dpi="350">,</tex>[[Файл:3-4-5.png|50px]]<tex dpi="350">)</tex>, но не будет лежать <tex dpi="350">(</tex> [[Файл:1-2.png|50px]] <tex dpi="350">,</tex>[[Файл:3-5-4.png|50px]]<tex dpi="130350">)</tex>. <tex dpi="350">c_n=\prodsum_{k=0}^na_kb_{n-k}\limits_binom{n }{k}=\geqslant 1sum_{k=0}(1+z^na_kb_{n-k}\frac{n!}{k!(n-k)!}=n! \cdot \sum_{k=0}^n\frac{A_a_k}{k!}\frac{b_{n-k}}{(n-k)!}</tex> <tex dpi="350">C(t)=A(t) \expcdot B(t)</tex> ==Последовательности комбинаторных классов== ===Ограниченная конструкция=== Последовательности длины <tex dpi="350">k</tex>, как и в непомеченных комбинаторных объектах, формируются следующим образом: * Cоставляются все возможные последовательности из <tex dpi="350">k</tex> объектов из <tex dpi="350">A</tex>* Перенумеруются всеми возможными способами. Их принято обозначать <tex dpi="350">Seq_k(A)</tex>. <tex dpi="350">n</tex>-тый член выражается следующим образом: <tex dpi="350">b_n=\sum_{t_1+t_2+...+t_k=n}\binom{n}{t_1}\cdot\binom{n-t_1}{t_2}\sumcdot...\limits_cdot\binom{t_k}{t_k}\cdot\prod_{i=1}^{k }a_{t_i}=\sum_{t_1+t_2+...+t_k=n}\geqslant binom{n}{t_1, t_2,...,t_k}\cdot\prod_{i=1}^{k}a_{t_i}=\dfracsum_{(-t_1+t_2+...+t_k=n}\frac{n!}{t_1! \cdot t_2! \cdot ... \cdot t_k!}\cdot\prod_{i=1)}^{k}A(za_{t_i}=n!\sum_{t_1+t_2+...+t_k=n}\prod_{i=1}^{k})\frac{a_{t_i}}{t_i!}</tex> Поэтому производящая функция {{---}} <tex dpi="350">B(t)=\left ( A\left (t\right ) \right )^k</tex> ===Неограниченная конструкция=== Определение <tex dpi="350">Seq(A)</tex> не изменилось. {{Утверждение|statement=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\frac{1}{1 - A(t)}</tex>|proof=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}A(t)^i=\frac{1}{1 -alignA(t)}</tex> (Геометрическая прогрессия)}} Действует ограничение на <tex dpi="center350" !>b_0=B(0)=0</tex>, как и на <tex dpi="350">Seq(A)</tex> и <tex dpi="130350">MSet(A)</tex>||в формализме непомеченных объектов. ====Пример==== '''Перестановки'''* <tex dpi="350">P=Seq(Z)</tex>* Экспоненциальной производящей функцией является <tex dpi="130350">P(t)=\prodfrac{1}{1-t}</tex>.* Обычной производящей функции <tex dpi="350">\limits_frac{n 1}{1-t}</tex> соответствует считающая последовательность <tex dpi="350">\left \geqslant { 1, 1, ..., 1\right \}</tex>, поэтому <tex dpi="350">[t_n]\dfracfrac{1}{(1-z^{t}=1</tex>.* <tex dpi="350">p_n=n}!\cdot[t_n]p(t)^=n!</tex> ==Урны==Кобинаторный класс "Урна" {A_{n---}}множество, характеризующееся только количеством атомов в объекте, то есть элементов каждого веса {{---}}<tex dpi="350">1</tex>, поэтому <tex dpi="350">a_n=1</tex>. Производящая функция этого класса {{---}} <tex dpi="350">edf(t)=\exp(sum_{n=0}^{\suminfty}\limits_frac{k 1\geqslant 1cdot t^n}{n!}=\dfracsum_{A(zn=0}^{k\infty})\frac{t^n}{kn!})=e^t</tex>. |-align==Множества== В формализме помеченных объектов <tex dpi="center350">MSet=Set</tex>, потому что не бывает одинаковых элементов в множествах. !===Ограниченная конструкция=== {{Определение|definition=Ограниченным множеством <tex dpi="130350">PairA=Set_k(A,B)</tex>||назовём множество из <tex dpi="130350">Ak</tex> объектов (zпорядок не важен).}} Рассмотрим <tex dpi="350">\left \{ a_1, a_2, ..., a_k \right \} \in Set_k(B)</tex> и разобьем последовательности в <tex dpi="350">Seq_k(zB)</tex>на классы эквивалентности по признаку равенства множеств элементов в них. Каждому <tex dpi="350">Set_k(B)</tex> [[Отображения|-alignбиективно]] соответствует <tex dpi="center350" >k!</tex> последовательностей в <tex dpi="130350">CycleSeq_k(AB)</tex>||, потому что все объекты различны. <tex dpi="130350">Set_k(B)\sumcdot k!=Seq_k(B)</tex> <tex dpi="350">Set_k(B)(t)=A(t)=\limits_frac{n \geqslant 1left ( B \left ( t \right ) \right )^k}{k!}</tex> ===Неограниченная конструкция=== <tex dpi="350">A=Set(B)=\dfracsum_{k=0}^{\phiinfty}Set_k(nb)</tex> {{---}}множества объектов (порядок не важен). Ограничение <tex dpi="350">b_0=B(0)=0</tex> также действует. <tex dpi="350">Set(A)(t)=\sum_{nk=0}^{\lninfty}\dfracfrac{1A(t)^k}{k!}=e^{1 - A(z^nt)}</tex> Можно рассматривать <tex dpi="350">Set(A)</tex> как композицию урны и <tex dpi="350">A</tex>, где другими словами, можно вместо атомов в урне взять объекты класса <tex dpi="350">A</tex>. ==Циклы== ===Ограниченная конструкция=== {{Определение|definition=Цикл <tex dpi="130350">\phiA=Cycle_k(nB)</tex> {{---}} [[Функция_Эйлера | функция Эйлера]]ориентированная циклическая последовательность из <tex dpi="350">k</tex> объектов класса <tex dpi="350">B</tex>. Циклов нулевой длины <tex dpi="350">0</tex>, то есть, <tex dpi="350">c_0=0</tex>.|}}