1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition =
Пусть <tex>x \in A</tex>. Тогда <tex>A</tex> {{---}} '''окрестность''' точки <tex>x</tex>, если существует открытый шар <tex>V: x \in V \subset A </tex>. При этом <tex>A \backslash \{x\}</tex> называется '''проколотой окрестностью''' точки <tex>x</tex>.
}}
Тогда утверждается, что <tex> \lim\limits_{x \rightarrow a} z(x) = d </tex>. Если вы дочитали условие до этого места, возьмите с полки пирожок. _о_
|proof=
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_1 > 0 : 0 < \bar \rho (y, b) < \delta_1 \Rightarrow \bar{\bar \rho}(g / (y), d) < \varepsilon \\
\forall \delta_1 > 0 \, \exists \delta > 0 : 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 </tex>
:<tex>f(x) \ne b \Rightarrow 0 < \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 </tex>, а тогда <tex>y = f(x) </tex>
<tex> \forall x_0\ f(x_0) = \rho(x_0, A) </tex> - непрерывна.
|proof=
<tex> f(x_1) \le \rho(x_1, аa) \le \rho(x_2, Aa) + \rho(x_2, x_1) </tex>
По определению нижней грани, <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists a^* \in A: \rho(x, a^*) < \rho(x, A) + \varepsilon</tex>, значит, <tex>f(x_1) \le \rho(x_2, A) + \varepsilon + \rho(x_2, x_1) </tex>.
Замечание: так как замкнутые множества являются дополнениями открытых, то отсюда напрямую следует, что прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении замкнут.
== Свойства непрерывных отображений . Определение компакта =={{Определение|definition=Множество ''ограниченное'', если его можно поместить в шар.}}
1)
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{- --}} МП. <tex> K \in X </tex> является '''компактом ''' в X, если из любой последовательности точек принадлежащих K можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> x_n: \lim x_n \in K </tex>.
}}
<tex> [a, b] </tex> на <tex> \mathbb{R} </tex> - классический пример.
{{Утверждение|statement = Легко(???) видеть что если K {{--- }} компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Ограниченное множество можно пометить в шар. Обратное не верно в общем случаене верно.|proof = Докажем от противного. Предположим, что K неограниченное.То есть <tex> \forall x \in K, \forall\varepsilon > 0 \exists x_1 \in K : \rho (x, x_1) > \varepsilon</tex>. Тогда мы можем построить последовательность из таких точек <tex>x_i: \rho (x_i, x_{i+1}) > \varepsilon</tex>. Эта последовательность неограниченна и из нее нельзя выделить сходящуюся. Но К {{---}} компакт, получили противоречие с определением компакта.То, что K {{---}} замкнутое, следует из основного характеристического свойства замкнутых множеств.}}
2)
Тогда <tex> \forall D: A < D < B\ \exists d \in (a; b): f(d) = D </tex>.
|proof=
Поскольку отрезок <tex> [a; b] </tex> {{---}} связное множество, значит, его образ <tex> f([a; b]) </tex> при непрерывном отображении связен. По свойству связных на <tex> R </tex> множеств, так как <tex> A, B \in f([a; b]) </tex>, то и <tex> [A; B] \in f([a; b]) </tex>. Значит, для любого <tex> D \in [A; B] </tex> соответствующий прообраз <tex> d </tex> найдется.
}}
{{Теорема
|id=
weirstrass
|author=
Вейерштрасс
Тогда существуют такие <tex> x_1, x_2 </tex>, что <tex> f(x_1) = \inf\limits_{K}f, f(x_2) = \sup\limits_{K}f </tex>.
|proof=
Пусть <math>f(x)</math> — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте <math>A</math>), <math>M = \sup_A f</math>. Возьмём последовательность чисел <math>a_m</math> таких, что <math>\lim a_m = M</math> и <math>a_m < M</math>. Для каждого <math>m</math> найдётся точка <math>x_m</math>, такая что
<math>a_m < f(x_m)</math>. Имеем дело с компактом, поэтому, согласно [[Теорема Больцано — Вейерштрасса|теореме Больцано — Вейерштрасса]] из последовательности <math>x_m</math> можно выделить сходящуюся последовательность <math>\{x_{m_k}\}</math>, предел которой лежит в <math>A</math>.
Для любого <math>x_m</math> справедливо <math>a_m < f(x_{m_k}) < M</math>, поэтому, применяя [[предельный переход]], получаем <math>\lim f(x_{m_k}) = M</math> и в силу непрерывности функции существует точка <math>x_0</math> такая, что <math>\lim f(x_{m_k}) = f(x_0)</math> и, следовательно <math>M = f(x_0)</math>.
Таким образом функция <math>f(x)</math> ограничена и достигает своей верхней грани при <math>x = x_0</math>. Аналогично и для нижней грани.
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
