Изменения

Случай с неопределенностью вида <tex> \frac{\infty}{\infty} </tex> <s> доказывается аналогично.</s>Докажем теорему для неопределённостей вида <math>\left(\frac{\infty}{\infty}\right)</math>. Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен <math>A</math>. Тогда, при стремлении <math>x</math> к <math>a</math> справа, это отношение можно записать как <math>A+\alpha</math>, где <math>\alpha</math> — [[O-большое и o-малое|O]](1). Запишем это условие:: <math>\forall\varepsilon_{1}>0\, \exists \delta_{1}>0 : \forall x(0\le x-a<\delta_{1}\Rightarrow \left| \alpha(x)\right| <\varepsilon_{1})</math>. Зафиксируем <math>t</math> из отрезка <math>[a,\;a+\delta_1]</math> и применим [[теорема Коши о среднем значении|теорему Коши]] ко всем <math>x</math> из отрезка <math>[a,\;t]</math>:: <math>\forall x\in [a;t]\ \exists c\in [a;\;x]\!:\frac{f(x)-f(t)}{g(x)-g(t)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>, что можно привести к следующему виду:: <math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-\frac{g(t)}{g(x)}}{1-\frac{f(t)}{f(x)}}\cdot\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>. Для <math>x</math>, достаточно близких к <math>a</math>, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как <math>f(t)</math> и <math>g(t)</math> — [[константа|константы]], а <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен <math>1+\beta</math>, где <math>\beta</math> — бесконечно малая функция при стремлении <math>x</math> к <math>a</math> справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение <math>\varepsilon</math>, что и в определении для <math>\alpha</math>:: <math>\forall \varepsilon_{1}>0\, \exists \delta_{2}>0\ : \forall x(0\le x-a<\delta_{2}\Rightarrow \left| \beta(x) \right| <\varepsilon_{1})</math>. Получили, что отношение функций представимо в виде <math>(1+\beta)(A+\alpha)</math>, и <math>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<|A|\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}^{2}</math>. По любому данному <math>\varepsilon</math> можно найти такое <math>\varepsilon_{1}</math>, чтобы модуль разности отношения функций и <math>A</math> был меньше <math>\varepsilon</math>, значит, предел отношения функций действительно равен <math>A</math>. Если же предел <math>A</math> бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то: <math>\forall M>0\, \exists \delta_{1}>0 : \forall x(0\le x-a<\delta_{1}\Rightarrow\frac{f'(x)}{g'(x)}>2M)</math>. В определении <math>\beta</math> будем брать <math>\varepsilon_{1} < \frac{1}{2}</math>; первый множитель правой части будет больше 1/2 при <math>x</math>, достаточно близких к <math>a</math>, а тогда <math>\frac{f(x)}{g(x)}>\frac{1}{2}\cdot 2M=M\Rightarrow \lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=+\infty</math>.