Изменения
→Другое доказательство существования решения
Положим <tex>\epsilon=\sqrt{d}</tex>. Для любого натурального <tex>n>1</tex> в силу леммы существуют такие натуральные числа <tex>a_n</tex> и <tex>b_n</tex>, что <tex>b_n < n</tex> и <tex>~|a_n-b_n\sqrt{d}|<\frac{1}{n}</tex>. Далее : <tex>~|a_n^2-db_n^2|=~|a_n-b_n\sqrt{d}|\cdot~|a_n+b_n\sqrt{d}|\leqslant\frac{1}{n}~|a_n-b_n\sqrt{d}+2b_n\sqrt{d}|\leqslant 1+2\sqrt{d}</tex>. Поэтому <tex>a_n^2-db_n^2</tex> принимает конечное число значений. Но <tex>n</tex> принимает бесконечное число значений. Поэтому существует такое число <tex>c</tex>, что для него есть бесконечно много пар <tex>(a_n, b_n)</tex>, таких что <tex>a_n^2-db_n^2=c</tex>.
Рассмотрим остатки от деления на <tex>~|c|</tex> чисел <tex> a_n, b_n</tex>. Количество остатков конечно, а пар бесконечно, поэтому существуют две различные пары <tex> (a_1, b_1),(a_2,b_2)</tex> такие, что <tex>a_1^2-db_1^2=c=a_2^2-вb_2db_2^2</tex> и <tex> a_1\equiv a_2(mod~|c|)</tex>, <tex>b_1\equiv b_2(mod~|c|)</tex>.
<tex>\frac{a_2+b_2\sqrt{d}}{a_1+b_1\sqrt{d}}=\frac{(a_1-b_1\sqrt{d})(a_2+b_2\sqrt{d})}{a_1^2-db_1^2}=\frac{(a_1a_2-db_1b_2)+(a_1b_2-a_2b_1)\sqrt{d}}{c}</tex>.
