Изменения
Нет описания правки
# Опишите алгоритм, выполняющий преобразование Мебиуса, который работает за время $O(3^n)$.
# Опишите алгоритм, выполняющий преобразование Мебиуса, который работает за время $O(2^n n)$.
# Мультиплексором называется схема, которая имеет $2^n+n$ входов и один выход. Обозначим входы как $x_0, x_1, \ldots, x_{2^n-1}, y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}$. На выход подается то же, что подается на вход $x_i$, где $i$ - двоичное число, которое кодируется входами $y_0, \ldots, y_{n-1}$. Постройте схему линейного (от суммарного количества входов и выходов) размера для мультиплексора.
# Дешифратором называется схема, которая имеет $n+1$ входов и $2^n$ выходов. Обозначим входы как $y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}, x$, а выходы как $z_0, z_1, \ldots, z_{2^n-1}$. На все выходы подается 0, а на выход $z_i$ то же, что подается на вход $x$, где $i$ - двоичное число, которое кодируется входами $y_0, \ldots, y_{n-1}$. Постройте схему линейного (от суммарного количества входов и выходов) размера для дешифратора.
# Контактной схемой называется ориентированный ациклический граф, на каждом ребре которого написана переменная или ее отрицание (ребра в контактных схемах называют ''контактами'', а вершины - ''полюсами''). Зафиксируем некоторые значения переменным. Тогда ''замкнутыми'' называются ребра, на которых записана 1, ребра, на которых записан 0, называются ''разомкнутыми''. Зафиксируем две вершины $u$ и $v$. Тогда контактная схема вычисляет некоторую функцию $f$ между вершинами $u$ и $v$, равную 1 на тех наборах переменных, на которых между $u$ и $v$ есть путь по замкнутым ребрам. Постройте контактные схемы для функций "и", "или" и "не".
# Постройте контактную схему для функции "xor".
# Постройте контактную схему для функции медиана трех.
# Докажите, что любую булеву функцию можно представить контактной схемой.
# Постройте контактную схему "xor от $n$ переменных", содержащую $O(n)$ ребер.
# Постройте контактную схему "большинство из $2n+1$ переменных", содержащую $O(n)$ ребер.
# Постройте контактную схему, в которой для каждого из $2^n$ наборов дизъюнкций переменных и их отрицаний есть пара вершин, между которыми реализуется эта дизъюнкция, используя $O(2^n)$ ребер.
# Докажите, что любую булеву функцию можно представить контактной схемой, содержащей $O(2^n)$ ребер.
# Будем интерпретировать битовые строки длины $n$ как целые числа с соответствующей двоичной записью. Заданы $n$-битные числа $v_0 < v_1 < \ldots < v_{m-1}$. Предложите алгоритм за $O(m)$, который по заданным числам и числу $j$ находит все такие пары индексов $i, k$, что $v_i \oplus 2^j = v_k$. Считайте, что операции с числами выполняются за $O(1)$.
# Приведите пример формулы, которая одновременно (а) равна тождественному нулю (б) находится в форме Хорна (в) находится в форме Крома (г) содержит хотя бы 3 переменные
# Докажите, что $(x \oplus 3x) \wedge ((x \oplus 3x) >> 1)=0$, где $>>$ означает битовый сдвиг вправо.
# Предложите алгоритм, который для заданного $d \ge 3$ вычисляет $x^y\bmod 2^d$ для заданных $x$ и $y$, где $x$ нечетен, используя $O(d)$ сложений и битовых операций и одно умножение на $y$.
# Предложите алгоритм, который по заданной своей таблицей истинности $n$-арной булевой функции строит за полином от $2^n$ монотонную булеву функцию, которая одновременно (а) мажорирует заданную на каждом входном наборе (б) имеет минимальное число входных наборов, на которых она равна 1.
# Формулы с кванторами. Рассмотрим формулу с кванторами $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n f(x_1, \ldots, x_n)$, где $Q$ может быть квантором "существует" или "для любого". Докажите, что если если $f(x_1,\ldots,x_n)$ имеет ровно $k$ удовлетворяющих её назначений переменных, то существует ровно $k$ (из $2^n$ возможных) формул с кванторами в указанной форме, которые являются истинными.
# Дана формула в КНФ. Можно каждое вхождение переменной x заменить на её отрицание. Необходимо добиться, чтобы формула после этих преобразований оказалась в форме Хорна. Предложите алгоритм, который сводит эту задачу к задаче 2SAT.
# Свести 3SAT к проверке существования удовлетворяющего назначения для формулы, которая является конъюнкцией клозов, каждый из которых является либо клозом Хорна, либо клозом Крома
