}}
== Старые записи ==
==== Примеры: ====
<tex> \varphi (1) = 1</tex>, <tex> \varphi (4) = 2</tex>,<br>
<tex> \varphi (2) = 1</tex>, <tex> \varphi (5) = 4</tex>,<br>
<tex> \varphi (3) = 2</tex>, <tex> \varphi (6) = 2</tex>.<br>
==== Свойства функции Эйлера ====
*1. '''Доказательство:''' <tex> \varphi (p) = p-1 </tex>, p {{---}} [[Простые числа|простое]], <tex> \varphi (p^{\alpha}) = p^{\alpha} - p^{\alpha - 1}</tex>.
** Логически понятно, если строго, то выводится из 2 свойства.
*2. Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''', тогда
<center><tex> \varphi (a) = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})</tex>. </center>
** '''Доказательство:''' Пусть <tex> x </tex> пробегает числа <tex> 0,1,2,\ldots,a-1</tex>, положим <tex> \sigma_x = (a, x)</tex> {{---}} [[Наибольший общий делитель|НОД]]. Тогда <tex> \varphi(a) </tex> есть число значений <tex> \sigma_x </tex>, равных единице. Возьмем функцию, которая равна единице, если <tex> \sigma_x = 1</tex>, и равна нулю в остальных случаях. Вот такая функция : <tex>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</tex>, где <tex> \mu(a) </tex> {{---}} [[Функция Мебиуса|функция Мебиуса]]. Отсюда <tex> \varphi(a) = \sum_{0 \le x \le a-1}(\sum_{d | a} \mu(d))</tex>. Поскольку справа сумма в скобках берется по всем делителям '''d''' числа <tex> \sigma_x = ( x , a )</tex>, то '''d''' делит '''x''' и '''a''' . Значит в первой сумме справа в суммировании участвуют только те '''x''' , которые кратны '''d''' . Таких '''x''' среди чисел <tex> 0,1,2,\ldots,a-1</tex> ровно <tex> \frac{a}{d} </tex> штук. Получается, что <tex> \varphi(a) = \sum_{d | a} \frac{a}{d}\mu(d) = a\sum_{d | a} \frac{\mu(d)}{d} = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})</tex>.
*3. Функция Эйлера является [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативной]] <tex> \varphi(a_1 a_2) = \varphi(a_1)\varphi(a_2) </tex>.
** Вытекает из первого свойства.
==== Еще примеры ====
* <tex> \varphi(60) = 60(1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 - \frac{1}{5}) = 16</tex>
* <tex> \varphi(81) = 81 - 27 = 54 </tex>
