1679
правок
Изменения
м
бооотать
1. Аксиома непрерывности в множестве вещественных чисел, точные грани числовых
множеств.
2. Принцип вложенных отрезков.
{{Определение
|definition=
Пусть дана система отрезков: <tex> a_n \le b_n, \Delta_n = [a_n, b_n] </tex>
<tex> \forall n \in \mathbb N: \Delta_{n+1} \subset \Delta_n </tex>
Тогда эта система отрезков называется '''вложенной'''.
}}
3. Определение предела последовательности.
{{Определение
|definition=
Число <tex> a \in \mathbb R </tex> называется '''пределом последовательности''' <tex> a_n </tex>, если:
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0: |a_n - a| < \varepsilon </tex>
Записывают: <tex> a = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n </tex>
}}
4. Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях.
{{Теорема
|id = thWeier
|author=Вейерштрасс
|statement=
Пусть <tex> a_n \uparrow </tex> и <tex> a_n </tex> ограничена сверху. Тогда она сходится. (Аналогично, если <tex> a_n \downarrow </tex>, <tex> a_n </tex> {{---}} ограничена снизу).}}
5. Число е.
<tex> \exists \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac 1n)^n </tex>. Его обозначают числом <tex> e </tex>.
6. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
{{Теорема
|id = thBolzano
|author=Больцано
|statement=Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность}}
7. Теорема Коши о сходящихся в себе последовательностях.
{{Теорема
|id = thCauchy
|author=Коши
|statement=Если числовая последовательность сходится в себе, то она сходится.}}
8. Определение МП, открытые и замкнутые множества в МП.
Если на <tex>X</tex> определена метрика, то пара <tex>(X, \rho)</tex> называется ''метрическим пространством'', аббревиатура {{---}} ''МП''.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} метрическое пространство, пусть <tex>\ \ r \in \mathbb{R},\ r > 0,\ a \in X </tex>, тогда открытый шар радиуса
<tex>\ r\ </tex> в точке <tex>\ a\ </tex> {{---}} это множество <tex> V_r(a) = \{x \in X| \rho(x, a) < r \} </tex>
}}
{{Определение
|definition=
Множество <tex> G \subset X </tex> называется открытым в метрическом пространстве, если его можно записать как некоторое объединение открытых шаров (в общем случае объединение может состоять из несчетного числа шаров).
: <tex> \tau </tex> — класс открытых множеств.
: <tex> \tau = \{ G </tex> {{---}} открытые в МП <tex>(X, \rho) \}</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Множество <tex>F</tex> называется замкнутым в МП<tex>(X, \rho)</tex>, если <tex> \overline F = X \backslash F </tex> {{---}} открыто.
}}
9. Компакты в МП, теорема Хаусдорфа.
{{Определение
|definition=
Множество ''ограниченное'', если его можно поместить в шар.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} МП. <tex> K \in X </tex> является '''компактом''' в X, если из любой последовательности точек принадлежащих K можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> x_n: \lim x_n \in K </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement = Легко видеть что если K {{---}} компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Обратное в общем случае не верно.
}}
{{Теорема
|author=Хаусдорф
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{Теорема
|author=Хаусдорф
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} полное метрическое пространство, <tex>K \subset X</tex>, <tex>K</tex> {{---}} замкнуто.
Тогда <tex>K</tex> {{---}} компакт <tex>\iff</tex> <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченно.{{---}} полное метрическое пространство, <tex>K \subset X</tex>, <tex>K</tex> {{---}} замкнуто.
Тогда <tex>K</tex> {{---}} компакт <tex>\iff</tex> <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченно.
}}
10. Предел отображения в МП.
{{Определение
|definition=
<tex> x_n \rightarrow x </tex> в МП <tex>(X, \rho)</tex>, если:
# <tex>\ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \rho(x_n, x) = 0\ </tex> , или
# <tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N \Rightarrow \rho(x_n, x) < \varepsilon </tex>
: или
: <tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: x_n \in V_\varepsilon(x)</tex>, где <tex> V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) < \varepsilon \} </tex>, то есть открытый шар радиуса <tex>\ \varepsilon</tex> с центром в точке <tex>\ x</tex>
}}
11. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
{{Теорема
|author=
Кантор
|statement=
Пусть даны МП <tex> (X, \rho), (Y, \rho)</tex>, <tex> K \subset X</tex> - компакт, <tex> f: K \rightarrow Y </tex> - непрерывное отображение. Тогда <tex> f </tex> также и равномерно непрерывное на <tex> K </tex>.
}}
12. Теорема Вейерштрасса об экстремумах.
{{Теорема
|author=
Вейерштрасс
|statement=
Пусть <tex> f: K \rightarrow \mathbb R </tex> {{---}} непрерывная функция на компакте <tex> K </tex>.
Тогда существуют такие <tex> x_1, x_2 </tex>, что <tex> f(x_1) = \inf\limits_{K}f, f(x_2) = \sup\limits_{K}f </tex>.
|proof=
}}
13. Теорема Коши о промежуточных значениях.
{{Теорема
|author=
Коши
|about=
о промежуточных значениях функции
|statement=
Пусть <tex> f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [a; b], f(a) = A, f(b) = B</tex>, для определенности считаем, что <tex> A < B </tex>.
Тогда <tex> \forall D: A < D < B\ \exists d \in (a; b): f(d) = D </tex>.
|proof=
}}
14. Определение дифференциала и производной, критерий дифференцируемости.
15. Производная сложной.
16. Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке.
17. Теорема Ролля о нулях производной.
18. Формула конечных приращений Лагранжа.
19. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
20. Формула Тейлора с остатком Лагранжа.
21. Интерполяционная формула Лагранжа и ее остаток.
22. Определение выпуклой функции, неравенство Иенсена.
23. Неравенство Гельдера для сумм.
24. Неравенство Минковского для сумм.
25. Теорема о выпуклом модуле непрерывности.
26. Полиномы и теорема Бернштейна.
27. Неопределенный интеграл: линейность, замена переменной интегрирования,
формула интегрирования по частям.
28. Интегральные суммы Римана, необходимое условие интегрируемости.
29. Критерий интегрируемости по Риману.
30. Теорема Барроу.
31. Формула Ньютона-Лейбница.
32. Критерий сходимости несобственных интегралов.
33. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме.
34. Определение суммы числового ряда. Необходимый признак и критерий Коши
сходимости ряда.
35. Интегральный признак Коши сходимости рядов.
36. Ряды и теорема Лейбница.
37. Теорема Мертенса о произведении рядов по Коши.
множеств.
2. Принцип вложенных отрезков.
{{Определение
|definition=
Пусть дана система отрезков: <tex> a_n \le b_n, \Delta_n = [a_n, b_n] </tex>
<tex> \forall n \in \mathbb N: \Delta_{n+1} \subset \Delta_n </tex>
Тогда эта система отрезков называется '''вложенной'''.
}}
3. Определение предела последовательности.
{{Определение
|definition=
Число <tex> a \in \mathbb R </tex> называется '''пределом последовательности''' <tex> a_n </tex>, если:
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0: |a_n - a| < \varepsilon </tex>
Записывают: <tex> a = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n </tex>
}}
4. Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях.
{{Теорема
|id = thWeier
|author=Вейерштрасс
|statement=
Пусть <tex> a_n \uparrow </tex> и <tex> a_n </tex> ограничена сверху. Тогда она сходится. (Аналогично, если <tex> a_n \downarrow </tex>, <tex> a_n </tex> {{---}} ограничена снизу).}}
5. Число е.
<tex> \exists \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac 1n)^n </tex>. Его обозначают числом <tex> e </tex>.
6. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
{{Теорема
|id = thBolzano
|author=Больцано
|statement=Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность}}
7. Теорема Коши о сходящихся в себе последовательностях.
{{Теорема
|id = thCauchy
|author=Коши
|statement=Если числовая последовательность сходится в себе, то она сходится.}}
8. Определение МП, открытые и замкнутые множества в МП.
Если на <tex>X</tex> определена метрика, то пара <tex>(X, \rho)</tex> называется ''метрическим пространством'', аббревиатура {{---}} ''МП''.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} метрическое пространство, пусть <tex>\ \ r \in \mathbb{R},\ r > 0,\ a \in X </tex>, тогда открытый шар радиуса
<tex>\ r\ </tex> в точке <tex>\ a\ </tex> {{---}} это множество <tex> V_r(a) = \{x \in X| \rho(x, a) < r \} </tex>
}}
{{Определение
|definition=
Множество <tex> G \subset X </tex> называется открытым в метрическом пространстве, если его можно записать как некоторое объединение открытых шаров (в общем случае объединение может состоять из несчетного числа шаров).
: <tex> \tau </tex> — класс открытых множеств.
: <tex> \tau = \{ G </tex> {{---}} открытые в МП <tex>(X, \rho) \}</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Множество <tex>F</tex> называется замкнутым в МП<tex>(X, \rho)</tex>, если <tex> \overline F = X \backslash F </tex> {{---}} открыто.
}}
9. Компакты в МП, теорема Хаусдорфа.
{{Определение
|definition=
Множество ''ограниченное'', если его можно поместить в шар.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} МП. <tex> K \in X </tex> является '''компактом''' в X, если из любой последовательности точек принадлежащих K можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> x_n: \lim x_n \in K </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement = Легко видеть что если K {{---}} компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Обратное в общем случае не верно.
}}
{{Теорема
|author=Хаусдорф
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{Теорема
|author=Хаусдорф
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} полное метрическое пространство, <tex>K \subset X</tex>, <tex>K</tex> {{---}} замкнуто.
Тогда <tex>K</tex> {{---}} компакт <tex>\iff</tex> <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченно.{{---}} полное метрическое пространство, <tex>K \subset X</tex>, <tex>K</tex> {{---}} замкнуто.
Тогда <tex>K</tex> {{---}} компакт <tex>\iff</tex> <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченно.
}}
10. Предел отображения в МП.
{{Определение
|definition=
<tex> x_n \rightarrow x </tex> в МП <tex>(X, \rho)</tex>, если:
# <tex>\ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \rho(x_n, x) = 0\ </tex> , или
# <tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N \Rightarrow \rho(x_n, x) < \varepsilon </tex>
: или
: <tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: x_n \in V_\varepsilon(x)</tex>, где <tex> V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) < \varepsilon \} </tex>, то есть открытый шар радиуса <tex>\ \varepsilon</tex> с центром в точке <tex>\ x</tex>
}}
11. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
{{Теорема
|author=
Кантор
|statement=
Пусть даны МП <tex> (X, \rho), (Y, \rho)</tex>, <tex> K \subset X</tex> - компакт, <tex> f: K \rightarrow Y </tex> - непрерывное отображение. Тогда <tex> f </tex> также и равномерно непрерывное на <tex> K </tex>.
}}
12. Теорема Вейерштрасса об экстремумах.
{{Теорема
|author=
Вейерштрасс
|statement=
Пусть <tex> f: K \rightarrow \mathbb R </tex> {{---}} непрерывная функция на компакте <tex> K </tex>.
Тогда существуют такие <tex> x_1, x_2 </tex>, что <tex> f(x_1) = \inf\limits_{K}f, f(x_2) = \sup\limits_{K}f </tex>.
|proof=
}}
13. Теорема Коши о промежуточных значениях.
{{Теорема
|author=
Коши
|about=
о промежуточных значениях функции
|statement=
Пусть <tex> f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [a; b], f(a) = A, f(b) = B</tex>, для определенности считаем, что <tex> A < B </tex>.
Тогда <tex> \forall D: A < D < B\ \exists d \in (a; b): f(d) = D </tex>.
|proof=
}}
14. Определение дифференциала и производной, критерий дифференцируемости.
15. Производная сложной.
16. Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке.
17. Теорема Ролля о нулях производной.
18. Формула конечных приращений Лагранжа.
19. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
20. Формула Тейлора с остатком Лагранжа.
21. Интерполяционная формула Лагранжа и ее остаток.
22. Определение выпуклой функции, неравенство Иенсена.
23. Неравенство Гельдера для сумм.
24. Неравенство Минковского для сумм.
25. Теорема о выпуклом модуле непрерывности.
26. Полиномы и теорема Бернштейна.
27. Неопределенный интеграл: линейность, замена переменной интегрирования,
формула интегрирования по частям.
28. Интегральные суммы Римана, необходимое условие интегрируемости.
29. Критерий интегрируемости по Риману.
30. Теорема Барроу.
31. Формула Ньютона-Лейбница.
32. Критерий сходимости несобственных интегралов.
33. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме.
34. Определение суммы числового ряда. Необходимый признак и критерий Коши
сходимости ряда.
35. Интегральный признак Коши сходимости рядов.
36. Ряды и теорема Лейбница.
37. Теорема Мертенса о произведении рядов по Коши.
