Изменения
Новая страница: «== Глава1. Введение в анализ. == 1. Множества и операции над ними. Отображения (образ, прообраз…»
== Глава1. Введение в анализ. ==
1. Множества и операции над ними. Отображения (образ, прообраз, композиция, обратное отображение).
2. Аксиома непрерывности в множестве вещественных чисел (пример квадратного корня из двух), точные грани числовых множеств.
3. Принцип вложенных отрезков.
4. Принцип математической индукции: конечный бином Ньютона, неравенство Бернулли.
5. Понятие о мощности множества, минимальность счетной мощности.
6. Мощность не более чем счетного объединения не более чем счетных множеств, мощность Q.
7. Несчетность вещественного отрезка, мощность R.
8. Определение предела последовательности (eps-N, окрестности), ограниченность сходящейся последовательности, единственность предела.
9. Беск. малые последовательности: арифметика, связь со сходящимися последовательностями.
10. Арифметика предела последовательностей.
11. Предельный переход в неравенстве, принцип сжатой переменной для оследовательностей.
12. Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях.
13. Число е.
14. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
15. Теорема Коши о сходящихся в себе последовательностях.
== Глава2. Метрические пространства и непрерывные отображения. ==
16. Определение МП, шары в МП.
17. Открытые и замкнутые множества в МП.
18. Компакты в МП, теорема Хаусдорфа.
19. Связные множества в МП, критерий связности на вещественной оси.
20. Предел в МП, единственность.
21. Предел отображения в МП, предел сложного отображения.
22. Непрерывные отображения в МП, прообразы открытых и замкнутых множеств.
23. Непрерывность расстояния точки до множества, нормальность МП.
24. Непрерывный образ компакта.
25. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
26. Теорема Вейерштрасса об экстремумах.
27. Непрерывный образ связного множества.
28. Теорема Коши о промежуточных значениях.
29. Классификация точек разрыва функции, разрывы монотонной функции.
30. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.
31. Непрерывность элементарных функций: xm/n, ex, ln(x), sin(x), arcsin(x).
32. Вычисление пределов (1+x)1/x, (ex-1)/x, ln(1+x)/x, ((1+x)m-1)/(mx).
33. Вычисление предела sin(x)/x.
== Глава3. Дифференцируемые функции. ==
34. Определение дифференциала и производной, критерий дифференцируемости.
35. Арифметика дифференцирования.
36. Производная сложной и обратной функций.
37. Производные элементарных функций.
38. Дифференциалы и производные высших порядков, связь между ними, инвариантность формы записи дифференциалов.
39. Правило Лейбница вычисления производной n-ого порядка произведения функций.
40. Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке.
41. Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной.
42. Теорема Ролля о нулях производной.
43. Формула конечных приращений Лагранжа.
44. Формула конечных приращений Коши.
45. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
46. Формула Тейлора для полиномов.
47. Формула Тейлора с остатком Пеано.
48. Формула Тейлора с остатком Лагранжа.
49. Разложения по формуле Тейлора элементарных функций.
50. Исследование функции на экстремум с помощью формулы Тейлора.
51. Интерполяционная формула Лагранжа и ее остаток.
52. Определение выпуклой функции, неравенство Иенсена.
53. Исследование функции на выпуклость с помощью производной.
54. Неравенство между обобщенными средними геометрическом и арифметическом, неравенство Юнга.
55. Неравенство Гельдера для сумм.
56. Неравенство Минковского для сумм.
57. Модуль непрерывности и его свойства.
58. Теорема о выпуклом модуле непрерывности.
59. Полиномы и теорема Бернштейна.
60. Теорема Вейерштрасса приближении непрерывной функции полиномами.
== Глава4. Интеграл Римана. ==
61. Определение первообразной функции, связь между первообразными одной функции.
62. Неопределенный интеграл: линейность, замена переменной интегрирования, формула интегрирования по частям.
63. Интегральные суммы Римана, необходимое условие интегрируемости.
64. Линейность интеграла Римана, интегрирование неравенства.
65. Суммы Дарбу и их свойства.
66. Критерий интегрируемости по Риману, пример функции Римана.
67. Интегрируемость непрерывного преобразования интегрируемой функции.
68. Аддитивность интеграла Римана.
69. Интегрируемость монотонной и непрерывной функций.
70. Теорема о среднем значении.
71. Теорема Барроу.
72. Формула Ньютона-Лейбница.
73. Определенное интегрирование заменой переменной и по частям.
74. Критерий сходимости несобственных интегралов.
75. Принцип сравнения несобственных интегралов.
76. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы.
77. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме.
78. Формула Валлиса.
79. Длина кривой и ее вычисление.
80. Вычисление площадей и объемов некоторых фигур посредством интеграла.
== Глава5. Числовые ряды. ==
81. Определение суммы числового ряда. Необходимый признак и критерий Коши сходимости ряда.
82. Сравнение положительных рядов.
83. Признаки Даламбера и Коши сходимости ряда.
84. Интегральный признак Коши сходимости рядов.
85. Критерий Коши сходимости положительных рядов.
86. Ряды и теорема Лейбница.
87. Признак типа Абеля-Дирихле сходимости рядов.
88. Закон ассоциативности для числовых рядов ( в обе стороны).
89. Закон коммутативности для абсолютно сходящихся числовых рядов.
90. Постоянная Эйлера.
91. Понятие о теореме Римана о перестановке членов числового ряда. Пример перестановки, меняющей сумму ряда.
92. Умножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
93. Теорема Мертенса о произведении рядов по Коши.
1. Множества и операции над ними. Отображения (образ, прообраз, композиция, обратное отображение).
2. Аксиома непрерывности в множестве вещественных чисел (пример квадратного корня из двух), точные грани числовых множеств.
3. Принцип вложенных отрезков.
4. Принцип математической индукции: конечный бином Ньютона, неравенство Бернулли.
5. Понятие о мощности множества, минимальность счетной мощности.
6. Мощность не более чем счетного объединения не более чем счетных множеств, мощность Q.
7. Несчетность вещественного отрезка, мощность R.
8. Определение предела последовательности (eps-N, окрестности), ограниченность сходящейся последовательности, единственность предела.
9. Беск. малые последовательности: арифметика, связь со сходящимися последовательностями.
10. Арифметика предела последовательностей.
11. Предельный переход в неравенстве, принцип сжатой переменной для оследовательностей.
12. Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях.
13. Число е.
14. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
15. Теорема Коши о сходящихся в себе последовательностях.
== Глава2. Метрические пространства и непрерывные отображения. ==
16. Определение МП, шары в МП.
17. Открытые и замкнутые множества в МП.
18. Компакты в МП, теорема Хаусдорфа.
19. Связные множества в МП, критерий связности на вещественной оси.
20. Предел в МП, единственность.
21. Предел отображения в МП, предел сложного отображения.
22. Непрерывные отображения в МП, прообразы открытых и замкнутых множеств.
23. Непрерывность расстояния точки до множества, нормальность МП.
24. Непрерывный образ компакта.
25. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
26. Теорема Вейерштрасса об экстремумах.
27. Непрерывный образ связного множества.
28. Теорема Коши о промежуточных значениях.
29. Классификация точек разрыва функции, разрывы монотонной функции.
30. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.
31. Непрерывность элементарных функций: xm/n, ex, ln(x), sin(x), arcsin(x).
32. Вычисление пределов (1+x)1/x, (ex-1)/x, ln(1+x)/x, ((1+x)m-1)/(mx).
33. Вычисление предела sin(x)/x.
== Глава3. Дифференцируемые функции. ==
34. Определение дифференциала и производной, критерий дифференцируемости.
35. Арифметика дифференцирования.
36. Производная сложной и обратной функций.
37. Производные элементарных функций.
38. Дифференциалы и производные высших порядков, связь между ними, инвариантность формы записи дифференциалов.
39. Правило Лейбница вычисления производной n-ого порядка произведения функций.
40. Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке.
41. Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной.
42. Теорема Ролля о нулях производной.
43. Формула конечных приращений Лагранжа.
44. Формула конечных приращений Коши.
45. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
46. Формула Тейлора для полиномов.
47. Формула Тейлора с остатком Пеано.
48. Формула Тейлора с остатком Лагранжа.
49. Разложения по формуле Тейлора элементарных функций.
50. Исследование функции на экстремум с помощью формулы Тейлора.
51. Интерполяционная формула Лагранжа и ее остаток.
52. Определение выпуклой функции, неравенство Иенсена.
53. Исследование функции на выпуклость с помощью производной.
54. Неравенство между обобщенными средними геометрическом и арифметическом, неравенство Юнга.
55. Неравенство Гельдера для сумм.
56. Неравенство Минковского для сумм.
57. Модуль непрерывности и его свойства.
58. Теорема о выпуклом модуле непрерывности.
59. Полиномы и теорема Бернштейна.
60. Теорема Вейерштрасса приближении непрерывной функции полиномами.
== Глава4. Интеграл Римана. ==
61. Определение первообразной функции, связь между первообразными одной функции.
62. Неопределенный интеграл: линейность, замена переменной интегрирования, формула интегрирования по частям.
63. Интегральные суммы Римана, необходимое условие интегрируемости.
64. Линейность интеграла Римана, интегрирование неравенства.
65. Суммы Дарбу и их свойства.
66. Критерий интегрируемости по Риману, пример функции Римана.
67. Интегрируемость непрерывного преобразования интегрируемой функции.
68. Аддитивность интеграла Римана.
69. Интегрируемость монотонной и непрерывной функций.
70. Теорема о среднем значении.
71. Теорема Барроу.
72. Формула Ньютона-Лейбница.
73. Определенное интегрирование заменой переменной и по частям.
74. Критерий сходимости несобственных интегралов.
75. Принцип сравнения несобственных интегралов.
76. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы.
77. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме.
78. Формула Валлиса.
79. Длина кривой и ее вычисление.
80. Вычисление площадей и объемов некоторых фигур посредством интеграла.
== Глава5. Числовые ряды. ==
81. Определение суммы числового ряда. Необходимый признак и критерий Коши сходимости ряда.
82. Сравнение положительных рядов.
83. Признаки Даламбера и Коши сходимости ряда.
84. Интегральный признак Коши сходимости рядов.
85. Критерий Коши сходимости положительных рядов.
86. Ряды и теорема Лейбница.
87. Признак типа Абеля-Дирихле сходимости рядов.
88. Закон ассоциативности для числовых рядов ( в обе стороны).
89. Закон коммутативности для абсолютно сходящихся числовых рядов.
90. Постоянная Эйлера.
91. Понятие о теореме Римана о перестановке членов числового ряда. Пример перестановки, меняющей сумму ряда.
92. Умножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
93. Теорема Мертенса о произведении рядов по Коши.
