304
правки
Изменения
наброски + метод средних арифметических
== Введение ==
Напомним, что имея последовательность суммы вещественных чисел <tex>\{a_n\}</tex> рядом мы называли символ <tex>\sum\limits_{i = 1}^\infty a_i</tex>. Ряды можно склажывать и умножать на число. Далее, мы определили <tex>\sum\limits_{i = 1}^\infty a_i = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{i = 1}^n a_i</tex>.
Мы показали, что исходя их этого равенства для сходимости ряда частичных сумм необходимо условие <tex>a_n \longrightarrow 0</tex>. Например, ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty</tex> не сходится (не имеет суммы в представленном выше смысле), поскольку <tex>(-1)^n</tex> предела не имеет.
Во многих задачах математики необходимо символу ряда приписывать некоторое число и называть суммой ряда. Как правило, требуется соблюдение условий, вытекающих из арифметических действий с обычными рядами.
== Правила суммирования ==
Когда пишут <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = A \quad (F)</tex>, то говорят, что ряд из <tex>a_i</tex> имеет сумму <tex>A</tex> по правилу суммирования <tex>F</tex>.
Для правил суммирования требуется выполнение некоторых условий.
Если ряд из <tex>b_n</tex> имеет суммой <tex>B</tex> по правилу <tex>F</tex>, то ряд из <tex>\alpha a_n + \beta b_n</tex> должен по этому правилу иметь суммой <tex>\alpha A + \beta B</tex>.
Далее, требуют так называемую перманентность (или регулярность) способа: если ряд из <tex>a_n</tex> имеет сумму <tex>A</tex> в обычном смысле, то ряд из <tex>a_n</tex> по правилу <tex>F</tex> также должен иметь сумму <tex>A</tex>.
Третьим требованием является эффективность — должны существовать ряды, которые суммируются с помощью <tex>F</tex>, но не имеют суммы в классическом смысле.
== Метод средних арифметических ==
Ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n</tex> имеет сумму <tex>S</tex> по методу средних арифметических (обозначают аббревиатурой с.а.), если <tex>S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_n</tex>. Как правило, используют обозначение <tex>\sigma_n = \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>.
Выясним, что способ удовлетворяет перечисленным выше требованиям. Линейность этого способа очевидна (из арифметики пределов и свойствах сложения конечного числа слагаемых).
Проверим эффективность способа.
{{Утверждение
|statement=
Сумма расходящегося ряда <tex>\sum\limits_{k = 10}^\infty (-1)^{k+1}</tex> равна <tex>\frac 12</tex>по методу средних арифметических.
|proof=
}}
Проверим перманентность. Требуется доказать, что если <tex>S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} S_n</tex>, то <tex>S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sigma_n</tex>.
Действительно, <tex>S_n = S + \alpha_n</tex>, где <tex>\alpha_n \longrightarrow 0</tex>. Тогда <tex>\sigma_n = S + \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n \alpha_k</tex>.
Требуется доказать, что <tex>\frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n \alpha_k \longrightarrow 0</tex>. Докажем по определению.
Рассмотрим некоторое <tex>\varepsilon > 0</tex>, подбираем <tex>N</tex> такое, что <tex>n \ge N \Rightarrow |\alpha_n| < \varepsilon / 2</tex>.
<tex>\frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n \alpha_k = \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^N \alpha_k + \sum\limits_{k = N + 1}^n \alpha_k</tex>
<tex>\left | \frac 1{2n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n \alpha_k \right | \le \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^N |\alpha_k| + \frac {n - N}{n + 1} \varepsilon</tex>
Поскольку в первом слагаемом бесконечно малая умножается на константу, то начиная с <tex>N_1</tex> выполняется <tex>\frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n |\alpha_k| < \varepsilon / 2</tex>. Но, поскольку <tex>\frac {n - N}{n + 1} < 1</tex>, то, начиная с <tex>N + N_1</tex> выполняется <tex>\left | \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n \alpha_k \right | < \varepsilon</tex>.
Следовательно, по определению предела <tex>\frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n \alpha_k</tex> стремится к нулю.
