Изменения

Посчитаем количество разбиений подмножеств <tex dpi= "150">n\ { — }\ </tex>-элементного множества. Нам нужно разбить <tex dpi= "150">n\ { — }\ </tex>-элементное множество на <tex dpi= "150">k</tex> непустых подмножеств, где <tex dpi= "150">k</tex> от <tex dpi= "150">1</tex> до <tex dpi= "150">n</tex>. Пусть<tex dpi= "150">C\ { — }\ </tex>все разбиения подмножества <tex dpi= "150">n\ { — }\ </tex>-элементного множества. Пусть <tex dpi= "150">A_k\ { — }\ </tex>разбиение <tex dpi= "150">n\ { — }\ </tex>-элементного множества на <tex dpi= "150">k</tex> непустых подмножеств, тогда <tex dpi = "150"> C = \bigcup \limits_{k=1}^{n}A_k</tex>. <tex dpi = "150">|A_k|=\left\{{n\atop k}\right\}\ { — }\ </tex>по определению, тогда <tex dpi = "150">B_n=|C|=\sum_{k=1}^{n} \ |A_k|=\sum_{k=1}^n \left\{{n\atop k}\right\}=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}</tex>, т.к. <tex dpi = "150">\left\{{n\atop 0}\right\}=0</tex>.