128
правок
Изменения
Не дискрестный Пуассон
|}
=== TODO заголовок ===
Пусть замкнутое множество $P \subset \mathbb{R}^2$ {{---}} область, на которой определено изображение $S$, а замкнутое множество $\Omega \subset P$ с границей $\partial\Omega$ и внутренностью $int(\Omega)$ {{---}} область вставки изображения $I$.
Пусть $f_S$ {{---}} скалярная функция, определенная на $P \setminus int(\Omega)$, задает фоновое изображение $S$; $f$ {{---}} неизвестная скалярная функция, определенная на $int(\Omega)$, задает, каким образом должно выглядеть результат блендинга в области вставки.
$v_I$ {{---}} векторное поле, определенное на $\Omega$. В качестве $v_i$ возьмем градиент вставляемого изображения $I$: $v_i = \nabla f_I$
Нашей задачей является поиск такой функции $f$, чтобы блендинговое изображение выглядело реалистично. Для этого минимизируем разность градиента функции $f$ и векторного поля $v_I$, считая, что $f = f_S$ на границе $\Omega$.
$$
\underset{f}{\mathrm{min}} \int\int_{\Omega} |\nabla f - v_I|^2, \text{где } f|_{\partial \Omega} = f_S|_{\partial \Omega}
$$
Решение задачи минимизации является единственным решением уравнения Пуассона для граничных условий Дирихле.
$$\nabla^2 f = \nabla^2 f_I \text{ на } \Omega, f|_{\partial \Omega} = f_S|_{\partial \Omega}, \text{где } \nabla^2 \text{{{---}} оператор Лапласа.}$$
=== Дискретный случай ===
Пусть $p$ {{---}} координаты $(x, y)$ пикселя двухмерного изображения. За $Img_p$ обозначим значение пикселя с координатами $p$ изображения $Img$. Пусть $\Omega = \{ p\;|\;M_p = 1 \}$. Тогда $\partial \Omega$ {{---}} координаты границы вставляемой области, а $int(\Omega)$ {{---}} внутренность области.
