Изменения
Добавлена статья
== Определения ==
{{Определение
|definition=
На <tex>E \subset \mathbb{R}</tex> задана последовательность функций <tex>f_1, f_2, \ldots f_n \ldots</tex>.
Тогда говорят, что имеется фукциональная последовательность.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>\forall x \in E</tex> определена числовая последовательность <tex>f_1(x), f_2(x), \ldots</tex>. Тогда можно говорить о пределе соответствующей числовой последовательности.
}}
Предел может существовать не на всем <tex>E</tex>.
{{Определение
|definition=
Область сходимости функциональной последовательности <tex>D \subset E : \{x | \forall x \in D \ f_1(x), f_2(x), \ldots</tex> {{---}} сходится <tex>\}</tex>
}}
{{Определение
|definition=
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex> {{---}} функциональный ряд.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n(x) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n(x)</tex>, <tex>x \in D</tex> {{---}} сумма числового ряда.
}}
Из определения суммы функционального ряда видно, что это предел специальной последовательности {{---}} <tex>s_n</tex>. Отсюда, исседование ряда на сходимость {{---}} исследование на сходимость последовательности сумм.
В тех местах, где это удобно, исследуются функциональные последовательности, а там, где нет, числовые ряды.
== Пример ==
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n</tex>
<tex>s_n = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x}</tex>
Тогда, при <tex>n \to \infty</tex>,
$s_n \to \begin{cases}
\frac1{1 - x}, & |x| < 1 \\
\infty, & |x| \geq 1 \\
\end{cases}$
<tex>E = R</tex>, <tex>D = (-1, 1)</tex>
На <tex>D</tex>, <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n = \frac1{1 - x}</tex>
{{Определение
|definition=
На <tex>E \subset \mathbb{R}</tex> задана последовательность функций <tex>f_1, f_2, \ldots f_n \ldots</tex>.
Тогда говорят, что имеется фукциональная последовательность.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>\forall x \in E</tex> определена числовая последовательность <tex>f_1(x), f_2(x), \ldots</tex>. Тогда можно говорить о пределе соответствующей числовой последовательности.
}}
Предел может существовать не на всем <tex>E</tex>.
{{Определение
|definition=
Область сходимости функциональной последовательности <tex>D \subset E : \{x | \forall x \in D \ f_1(x), f_2(x), \ldots</tex> {{---}} сходится <tex>\}</tex>
}}
{{Определение
|definition=
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex> {{---}} функциональный ряд.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n(x) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n(x)</tex>, <tex>x \in D</tex> {{---}} сумма числового ряда.
}}
Из определения суммы функционального ряда видно, что это предел специальной последовательности {{---}} <tex>s_n</tex>. Отсюда, исседование ряда на сходимость {{---}} исследование на сходимость последовательности сумм.
В тех местах, где это удобно, исследуются функциональные последовательности, а там, где нет, числовые ряды.
== Пример ==
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n</tex>
<tex>s_n = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x}</tex>
Тогда, при <tex>n \to \infty</tex>,
$s_n \to \begin{cases}
\frac1{1 - x}, & |x| < 1 \\
\infty, & |x| \geq 1 \\
\end{cases}$
<tex>E = R</tex>, <tex>D = (-1, 1)</tex>
На <tex>D</tex>, <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n = \frac1{1 - x}</tex>
