Изменения

= Проблема взрывающегося (исчезающего) градиента Нейронные сети считаются универсальными моделями в нейронных сетях =машинном обучении, поскольку позволяют решать широкий класс задач. Однако, при их использовании могут возникать различные проблемы.

=Проблема взрывающегося (затухающего) градиента в нейронных сетях = Постановка проблемы  == Определение ==

В процессе [[Обратное распространение ошибки | обратного распространения ошибки]] при прохождении через слои нейронной сети в элементах градиента могут накапливаться большие значения, что будет приводить к сильным изменениям весов. Это в свою очередь может сделать нестабильным алгоритм обучения нейронной сети. В таком случае элементы градиента могут переполнить тип данных, в котором они хранятся. Такое явление называется взрывающимся градиентом ''(англ. exploding gradient)''.

Существует аналогичная обратная проблема, когда в процессе обучения при обратном распространении ошибки через слои нейронной сети градиент становится все меньше. Это приводит к тому, что веса при обновлении изменяются на слишком малые значения, и обучение проходит неэффективно или останавливается, то есть алгоритм обучения не сходится. Это явление называется исчезающим затухающим градиентом ''(англ. vanishing gradient)''.

[[Файл:SigmoidDerivative.png|upright=1.0|thumb|Рис. Рисунок 1: График сигмоиды и ее производной<ref>[https://towardsdatascience.com/derivative-of-the-sigmoid-function-536880cf918e towardsdatascience.com {{---}} Derivative of the sigmoid function]</ref>]]В Такая проблема может возникнуть при использовании нейронных сетях классической [[Практики реализации нейронных сетей#Функции активации | функцией активации]] ''(англ. activation function)'' для слоев является сигмоида сигмоиды ''(англ. sigmoid)'':

$\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}.$

Посчитаем производную по слоям $u_dЭта функция часто используется, u_{d-1}, \dots$, где $L$ поскольку множество ее возможных значений {{---}} функция потерь ''(англ. loss function)''отрезок $[0, $w1]$ {{---}} вессовпадает с возможными значениями вероятностной меры, $a$ {{---}} выход по производнойчто делает более удобным ее предсказание. Оценка для производной видна из рис. 1Также график сигмоиды соответствует некоторым статистическим наблюдениям, например, росту популяции в зависимости от времени.

Пусть сеть состоит из подряд идущих нейронов с функцией активации $\frac{\partialsigma(L(wx))}{\partial$; функция потерть ''(u_dангл. loss function)} = \frac{\partial('' $L(wy))}{\partial= MSE(a)} y, \cdot \frachat{\partial(a)y}{\partial(u_d)} = (y - a\hat{y}) \cdot \sigma^2$ ''(w_d англ. MSE {{---}} Mean Square Error)''; $u_d) $ {{---}} значение, поступающее на вход нейрону на слое $d$; $w_d \leq 2 \cdot \frac$ {{1---}}вес нейрона на слое $d$; $y$ {4{---}} w_d$выход из последнего слоя. Оценим частные производные по весам такой нейронной сети на каждом слое. Оценка для производной сигмоиды видна из рисунка 1.

$\frac{\partial(L(wy))}{\partial(u_w_d)} = \frac{\partial(L(y))}{\partial(y)} \cdot \frac{\partial(y)}{\partial(w_d)} = 2 (y - \hat{y}) \cdot \sigma'(w_d u_d) u_d \leq 2 (y - \hat{y}) \cdot \frac{1}{4} u_d$ $\frac{\partial(L(y))}{\partial(w_{d - 1})} = \frac{\partial(L(wy))}{\partial(u_dw_d)} \cdot \frac{\partial(u_dw_d)}{\partial(u_w_{d - 1})} \leq 2 (y - \hat{y}) \cdot (\frac{1}{4})^2 w_d w_u_d u_{d-1}$

Откуда видно, что оценка элементов градиента растет экспоненциально при увеличении числа рассмотрении частных производных по весам слоевв направлении входа в нейронную сеть (уменьшения номера слоя). Это в свою очередь может приводить либо к экспоненциальному росту градиента от слоя к слою, когда входные значения нейронов {{---}} числа, по модулю большие $1$, либо к затуханию, когда эти значения {{---}} числа, по модулю меньшие $1$. Однако, входные значения скрытых слоев есть выходные значения функций активаций предшествующих им слоев. В частности, сигмоида насыщается ''(англ. saturates)'' при стремлении аргумента к $+\infty$ или $-\infty$, то есть имеет там конечный предел. Это приводит к тому, что более отдаленные слои обучаются медленнее, так как увеличение или уменьшение аргумента насыщенной функции вносит малые изменения, и градиент становится все меньше. Это и есть проблема затухающего градиента.

* Модель плохо обучается на данных, что отражается в высоком значении функции потерь;.* Модель нестабильна, что отражается в значительных скачках значения функции потерь;.

* Веса модели растут экспоненциально;.

* Модель Точность модели растет медленно улучшает свою точность, при этом возможно раннее срабатывание критерия останова, так как алгоритм может решить, что дальнейшее обучение не окажет будет оказывать существенного влияния на качество модели;.* Градиент ближе к концу показывает более сильные изменения, в то время как градиент ближе к началу почти не показывает никакие изменения;.* Веса модели уменьшаются экспоненциально во время обучения;.

[[Файл:SigmoidTanhReLUSoftplus.png|upright=1.0|thumb|Рис. Рисунок 2: Графики функций активации: sigmoid, tanh, ReLU, softplus]] Как уже упоминалось выше, подверженность нейронной сети проблемам взрывающегося или затухающего градиента во многом зависит от свойств используемых [[Практики реализации нейронных сетей#Функции активации | функций активации]]. Поэтому правильный их подбор важен для предотвращения описываемых проблем.

Функция аналогична сигмоиде, но множество возможных значений: $[-1, 1]$. Градиенты при этом сосредоточены около $0$,. Однако, эта функция также насыщается в обоих направлениях, поэтому также может приводить к проблеме затухающего градиента.

Функция проста для вычисления и имеет производную, равную либо $1$, либо $0$. Также есть мнение, что именно эта функция используется в биологических нейронных сетях. При этом функция не насыщается на любых положительных значениях, что делает градиент более чувствительным к отдаленным слоям. Недостатком функции является отсутствие производной в нуле, что можно устранить доопределением производной в нуле слева или справа. Также эту проблему устраняет использование гладкой аппроксимации, Softplus.

* Noisy ReLU: $h(x) = \max(0, x + \varepsilon), \varepsilon \sim N(0, \sigma(x))$;.* Parametric ReLU: $h(x) = \begin{cases} x & x > 0 \\ \beta x & \text{otherwise} \end{cases}$;.

Гладкий, везде дифференцируемый аналог функции ReLU, следовательно, наследует все ее преимущества. Однако, эта функция более сложна для вычисления. Эмпирически было выявлено, что по качеству не превосходит ReLU.

Графики всех функций активации приведены на рис. рисунок 2.

В глубоких нейронных сетях для Для решения проблемы может оказаться достаточным сокращение числа слоев. Также может помочь уменьшение размера батчейЭто связано с тем, что частные производные по весам растут экспоненциально в зависимости от глубины слоя.

[[Файл:Residual.png|upright=1.0|thumb|Рис. Рисунок 3: Устройство residual block<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Residual_neural_network wikipedia.org {{---}} Residual neural network]</ref>]]В данной конструкции вывод нейрона подается как следующему нейрону, так и нейрону на расстоянии 2-3 слоев впереди, который суммирует его с выходом предшествующего нейрона, а функция активации в нем {{---}} ReLU (см. рис. рисунок 3). Такая связка называется shortcut. Это позволяет при обратном распространении ошибки влиять значениям градиента в слоях быть более чувствительным к градиенту на более далекие слои напрямуюв слоях, с которыми связаны с помощью shortcut, то есть расположенными несколько дальше следующего слоя.

[[Регуляризация | Регуляризация]] заключается в том, что слишком большие значения весов будут увеличивать функцию потерь. Таким образом, таким образом штрафуя за этой нейронную в процессе обучения нейронная сетьпомимо оптимизации ответа будет также минимизировать веса, не позволяя становиться им слишком большими.

Образание заключается в ограничении нормы градиента. То есть если норма градиента превышает заранее выбранную величину$T$, то следует сократить ее до данной величинымасштабировать его так, не изменив направлениечтобы его норма равнялась этой величине: $\nabla_{clipped} = \begin{cases} \nabla & || \nabla || \leq T \\ \frac{T}{|| \nabla ||} \cdot \nabla & \text{otherwise} \end{cases}.$