Изменения

|proof = Вычислим верхнюю границу количества обновлений указателя на представителя для каждого множества из <tex>n</tex> элементов. Рассмотрим некий фиксированный объект. Когда мы обновляем указатель на представителя в объекте, он должен находиться в меньшем из множеставмножеств. Следовательно, при после первом обновлении образованное множество хранит не менее 2 элементов, при втором не менее 4 элементов, и т.д. Таким образом, при <tex>k \leqslant\ n</tex>, после того как указатель на представителя в объекте обновлен <tex>\left\lceil lg\ k \right\rceil</tex>, полученное в результате множество должно иметь не менее <tex>k</tex> элементов. Но максимальное множество может иметь не более <tex>n</tex> элементов. Значит указатель на каждом объекте поменяется не более <tex>\left\lceil lg\ n \right\rceil</tex> раз. Обновления <tex>head</tex> и <tex>tail</tex> и длины списка, для выполнения операции UNION требуется <tex>O(1)</tex> времени. Таким образом, общее время, для обновления <tex>n</tex> объектов, составляет <tex>O(n </tex> lg <tex> n)</tex>}}