Изменения
Нет описания правки
[[Категория:Математический анализ 1 курс]][[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория:Отношения]]
==Определения==
{{Определение
|definition=
''Множество'' {{---}} первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством.
}}
<tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex>
==== Описание ====
Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.
<tex> A = \{a: \mid P\} </tex> , где <tex>P</tex> {{---}} определенное свойство элемента <tex>a</tex>.
== Отношения между множествами ==
Два множества <tex>A</tex> и <tex>B</tex> могут вступать друг с другом в различные отношения.
==== Включение ====
* <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, если каждый элемент множества <tex>A</tex> принадлежит также и множеству <tex>B</tex> :
*: <tex>\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B</tex>
* <tex>A</tex> включает <tex>B</tex>, если <tex>B</tex> включено в <tex>A</tex>:
*: <tex>{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}</tex>
* <tex>A</tex> строго включено в <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, но не равно ему:
*: <tex>{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}</tex>
==== Равенство ====
* <tex>A</tex> равно <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> и <tex>B</tex> включены друг в друга:
*: <tex>{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}</tex>
==== Общие элементы ====
* <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются, если у них нет общих элементов:
*: <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}</tex>
== Специальные множества ==
{{Определение
|definition=
''Пустое множество'' {{---}} множество, не содержащее ни одного элемента. Обычно пустое множество обозначают как <tex>\varnothing</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
''Универсальное множество'' {{---}} множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно. Обычно универсальное множество обозначают как <tex> \ \displaystyle \mathbb {U}</tex>.
}}
== Операции над множествами ==
==== Бинарные операции над множествами ====
* Пересечение <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.
*: <tex>{\displaystyle A\cap B =\{x\mid x\in A\land x\in B\}}</tex>
* Объединение <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.
*: <tex>{\displaystyle A\cup B =\{x\mid x\in A\lor x\in B\}}</tex>
* Разность <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.
*: <tex>{\displaystyle A\setminus B =A\cap {\overline {B}}=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}}</tex>
* Симметрическая разность <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.
*: <tex> {\displaystyle A \bigtriangleup B \equiv A - B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) }</tex>
==Операции== Унарные операции над множествами ====
== Теорема де Моргана ==
де Моргана
|statement=
<tex>\displaystyle {\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha}} </tex>
|proof=
Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично.
Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств).
}}
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
:<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)</tex> следует равенство:<tex>\Rightarrow (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</tex>.
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.