Изменения

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]==Начальные определения==Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством».[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория:Отношения]]

{{Определение|definition=''Множество'' {{---}} первичное математическое понятие, которому не дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством.}} {{Определение|definition=Объекты, из которых состоит множество, называют ''элементами'' этого множества. Если <tex>a</tex> {{---}} элемент множества <tex>A</tex>, то записывают <tex>a \in A</tex> (объект а «<tex>a</tex> принадлежит <tex>A</tex>»). Если <tex>a</tex> не является элементом множества <tex>A</tex>, то записывают <tex>a \notin A</tex> («<tex>a</tex> не принадлежит <tex>A</tex>»). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов.}} ==Способы задания множеств== Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание. ==== Перечисление ====Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество. <tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex> ==== Описание ====Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов. <tex> A = \{a \mid P\} </tex> , где <tex>P</tex> {{---}} определенное свойство элемента <tex>a</tex>. == Отношения между множествами == Два множества <tex>A</tex> и <tex>B</tex> могут вступать друг с другом в различные отношения. ==== Включение ====* <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, если каждый элемент множества <tex>A</tex> принадлежит также и множеству А<tex>B</tex> : *: <tex>\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B</tex> * <tex>A</tex> включает <tex>B</tex>, если <tex>B</tex> включено в <tex>A</tex>:*: <tex>{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}</tex> * <tex>A</tex> строго включено в <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, но не равно ему:*: <tex>{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}</tex> ==== Равенство ====* <tex>A</tex> равно <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> и <tex>B</tex> включены друг в друга:*: <tex>{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}</tex> ==== Общие элементы ====* <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются, если у них нет общих элементов:*: <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}</tex>  == Специальные множества == {{Определение|definition=''Пустое множество'' {{---}} множество, не содержащее ни одного элемента. Обычно пустое множество обозначают как <tex>\varnothing</tex>.}} {{Определение|definition=''Универсальное множество'' {{---}} множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно. Обычно универсальное множество обозначают как <tex> \ \displaystyle \mathbb {U}</tex>.}} == Операции над множествами == ==== Бинарные операции над множествами ====

* Пересечение <tex>a A</tex> и <tex>B</tex>. *: <tex>{\notin displaystyle A\cap B =\{x\mid x\in A\land x\in B\}}</tex> (объект а не принадлежит множеству А)

* Объединение <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. *: <tex>{\displaystyle A\cup B ==Задание множеств==\{x\mid x\in A\lor x\in B\}}</tex>

1) Перечислением элементов* Разность <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. *: <tex> {\displaystyle A\setminus B =A \cap {\overline {B}}= \{a_1, a_2 ..., a_n, ...x\mid x\in A\land x\notin B\}} </tex>

2) Заданием определенного свойства обьектов* Симметрическая разность <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. *: <tex> {\displaystyle A \bigtriangleup B \equiv A - B = (A \{a: Pcup B) \setminus (A \cap B) } </tex> , где P {{---}} определенное свойство обьекта а

==Операции== Унарные операции над множествами ====

# <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x* Дополнение определяется следующим образом: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>));# <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В*: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>);# <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>);# <tex> B \backslash A </tex> (Разность множеств: <tex> (x \in B) \wedge (x \notin A) </tex>;# <tex> {\varnothing </tex> displaystyle {{---}} пустое множество:#* <tex> A \cup \varnothing = overline {A </tex>#* <tex> A \cap \varnothing = \varnothing </tex>#* <tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex># <tex> \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha</tex> {{---}} объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:#* <tex> \bigcup\limits_equiv A^{j \in Ncomplement } A_j = A_1 \cup A_2 \cup </tex> ...#* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex>#* <tex> \bigcupmid x\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее..# <tex> notin A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> {{---}} &laquo;множество всего&raquo;, &laquo;универсальное множество&raquo;;# <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> setminus A }</tex> {{---}} дополнение множества А, дополнительное множество к А до U.

<tex>\displaystyle {\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha}} </tex>

# Сначала докажем, что <tex>\ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>. #* Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, не существует <tex>\alpha_1nexists \ \alpha_i</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_1alpha_i}</tex>. Следовательно, <tex>\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha}</tex> для любого <tex>\alpha</tex> и <tex>Rightarrow x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>.#* В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение.#  Теперь докажем, что <tex>\ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>#* Пусть <tex>x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. Тогда для любого <tex>\forall \alpha</tex> <tex>: \ x \in \overline{A_\alpha}</tex>, то есть, <tex>\Rightarrow x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha</tex>, то есть, <tex>\Rightarrow x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex>#* Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение.

:<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)</tex> следует равенство:<tex>\Rightarrow (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</tex>.