10
правок
Изменения
Все правки сделаны
== Определение и устранение ошибок в общем случае ==
Пусть <tex>B = \{0, 1\}</tex> — булевое множество. Рассмотрим <tex>B^n</tex> и [[Расстояние Хэмминга#def1|расстояние (метрику) Хемминга ]] <tex>H(x,y)</tex>.Пусть <tex>c:\Sigma \to B^n</tex> {{---}} разделяемый код постоянной длины.Обозначим <tex>\min_min\limits_{x,y\in \SIgmaSigma}H(c(x), c(y)) = d(c)</tex>.
{{Определение
|neat = 1
|definition=
Код <tex>c</tex> ''обнаруживает '' <tex>k</tex> ошибок, если <tex>d(c) > k</tex>. }}<br />
{{Определение
|neat = 1
|definition=
Код <tex>c</tex> ''исправляет '' <tex>k</tex> ошибок, если <tex>d(c) > 2k</tex>. }}<br />
{{Утверждение
|statement= Код, исправляющий <tex>k</tex> ошибок, обнаруживает <tex>2k</tex> ошибок.
|neat = 1
|definition=
Булев шар {{---}} подмножество <tex>B^n</tex> вида <tex> \{ y : H(x,y) \leqslant r\}</tex>, где <tex>H(x,y)</tex> — расстояние Хемминга.<tex>x</tex> называется его центром, <tex>r</tex> — {{---}} радиусом.Булев шар с центром <tex>x</tex> и радиусом <tex>r</tex> обознчается <tex>S(x,r)</tex>. }}<br />
{{Определение
|neat = 1
|definition=
Обьёмом шара <tex>S(x,r)</tex> в <tex>B^n</tex> называется величина <tex>|S(x,r)|</tex>.
Обьём шара радиуса <tex>r</tex> в <tex>B^n</tex> обозначается <tex>V(n,r)</tex>.
}} <br />
{{Утверждение
|statement= Обьём шара не зависит от его центра.
|proof=Заметим, что шар <tex>S(x,r)</tex> всегда можно получить из другого шара <tex>S(y,r)</tex> с помощью "параллельного переноса" на вектор <tex>x\oplus y</tex>(здесь <tex>\oplus</tex> обозначает побитовый <tex>XOR</tex>), т.е.<tex> S(x, r) = \{z : z = t \oplus x \oplus y, t \in S(y,r) \} </tex>. Покажем это. Необходимо доказать, что <tex>H(x,z) = H(y,t)</tex> при <tex>t = z \oplus (x \oplus y)</tex> и <tex>y = x \oplus (x \oplus y)</tex>.<tex>H(y,t) = |\{i : y[i] \neq t[i]\}| = |\{i : x[i] \oplus (x[i] \oplus y[i]) \neq z[i] + (x[i] + y[i]) \}| = |\{ i : x[i] \neq z[i]\}| = H(z,t) </tex>.
}}
Можно сформулировать свойства свойство кодов, исправляющих <tex>k</tex> ошибок, в терминах булевых шаров.{{Лемма|id=boolean_balls_coding |statement= Пусть <tex>c:\Sigma \to B^n</tex> {{---}} код, исправляющий <tex>k</tex> ошибок. Тогда для любых неравных <tex>x,y\in \Sigma</tex> выполнено <tex>S(c(x), k) \cap S(c(y), k) = \emptyset</tex>. }}
{{Лемма
|id=boolean_balls_coding_rev boolean_balls_coding |statement= Рассмотрим код Пусть <tex>c:\Sigma \to B^n</tex>{{---}} код, исправляющий <tex>k</tex> ошибок. Пусть Тогда для любых неравных <tex>x,y \in \Sigma</tex> выполнено <tex> S(c(x), 2kk) \cap S(c(y), 2kk) = \emptyset </tex>. |proof=Т.к код <tex>c</tex> исправляет <tex>k</tex> ошибок, по определению <tex>d(c)>2k</tex>. Допустим, <tex>x, y</tex> такие, что <tex>x \neq y</tex> и <tex>S(c(x), k) \cap S(c(y), k)\neq \emptyset</tex>, т.е существует <tex>z</tex>, такой что <tex>H(c(x), z) \leqslant k</tex> и <tex>H(c(y), z) \leqslant k</tex>. Тогда по неравенству треугольника <tex>H(c(x), c(y)) \leqslant 2k</tex> — код. Это противоречит тому, исправляющий что <tex>kd(c)>2k</tex> ошибок.
}}
== Граница Хемминга Хэмминга, граница Гильберта ==
{{Теорема
|about=Граница ХеммингаХэмминга|statement= Пусть <tex>c: \Sigma \to B^n</tex> — {{---}} код для <tex>m</tex>-символьного алфавита, исправляющий <tex>k</tex> ошибок.
Тогда выполнено неравенство <tex>mV(n,k) \leqslant 2^n</tex>.
|proof= Это прямое следствие [[#boolean_balls_coding|предыдущей]] леммы.
Всего есть <tex>m = |\Sigma|</tex> попарно непересекающихся шаров.
Их суммарный обьём равен <tex>mV(n,k)</tex>, и он не может превосходить общее число возможных веткоров <tex>|B| = 2^n</tex>.
}}
Граница Хемминга Хэмминга даёт верхнюю оценку на скорость передачи сообщений в канале с ошибками.
Прологарифмировав неравенство, получим <tex>\frac{\log(m)}{n} \leqslant 1 - \frac{V(n, k)}{n}</tex>.
Здесь <tex>\frac{\log(m)}{n}</tex> это плотность кодирования, количество информации в одном символе алфавита на размер кода.
|statement=
Если выполнено неравенство <tex> mV(n,2k) \leqslant 2^n</tex>, то существует код <tex>c:\Sigma \to B^n</tex> для <tex>m</tex>-символьного алфавита <tex>\Sigma </tex>, исправляющий <tex>k</tex> ошибок.
|proof= Построим этот код алгоритмом.
Сопоставим первому символу <tex>x_1</tex> из <tex>\Sigma</tex> в <tex>B^n</tex> кодовое слово <tex>c(x_1)\in B^n</tex> и вырежем из <tex>B^n</tex> шар <tex>S(x_1,2k)</tex>.
Для второго символа <tex>x_2</tex> повторим ту же процедуру, выберем ему кодовое слово <tex>c(x_2)\in B^n \setminus S(x_1, 2k)</tex>.
На каждом шаге будем выбирать для каждого символа <tex>x_{i+1}</tex> некоторое слово <tex>c(x_{i+1}) \in B^n \setminus \bigcup_{j=1}^{i} S(x_j, 2k) </tex>, всего на выбор <tex>i+1</tex>-ого слова доступны <tex>2^n - iV(n,k) \geqslant V(n,k)</tex> вариантов.
Неравенство гарантирует нам, что по каждому символу мы сможем выбрать кодовое словотак, чей шар радиуса что оно будет удаленно от остальных кодовых слов на расстояние большее, чем <tex>2k</tex> не пересекается с шарами всех остальных слов , удовлетворяя неравенство <tex>d(как того требует исправление c)>2k</tex>. Таким образом построенный код исправляет <tex>k</tex> ошибок), а значит мы можем построить искомый код.
}}
Примером кода для случая <tex>k=1</tex> является [[Избыточное кодирование, код Хэмминга#def1]|код Хэмминга]
