Изменения
гильбертовость \ell^2, начало доказательства
Пространство последовательностей <tex>\ell^2</tex> определяется как пространство вещественных последовательностей, для которых сходится ряд из квадратов их членов.
{{Теорема
|statement=
<tex>\ell^2</tex> — гильбертово пространство.
|proof=
Для начала установим, что <tex>(x, y) = \sum\limits_{j = 1}^\infty x_j y_j</tex> имеет конечные значения (когда <tex>x</tex>, <tex>y</tex> — элементы <tex>\ell^2</tex>). По свойствам рядов достаточно доказывать сходимость ряда из модулей.
По неравенству Шварца для <tex>\mathbb R^n</tex> (где <tex>n</tex> — произвольно): <tex>\sum\limits_{j = 1}^n |x_j| \cdot |y_j| \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n x_j^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n y_j^2}</tex>.
<tex>\sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n x_j^2} \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^\infty x_j^2}</tex>, следовательно, частичные суммы рассматриваемого ряда ограничены некоторой константой. Но, так как ряд положительный, то он сходится.
Далее, требуется проверить корректность алгебраических операций.
Если <tex>x \in \ell^2</tex>, то, очевидно, <tex>\alpha x \in \ell^2</tex> (постоянный множитель <tex>\alpha^2</tex> выносится из под знака суммирования). Требуется также проверить, что при <tex>y \in \ell^2</tex> следует, что <tex>(x + y) \in \ell^2</tex>. То есть, нужно подтвердить сходимость ряда <tex>\sum\limits_{j = 1}^\infty (x_j + y_j)^2</tex>.
Требуемое следует из очевидно верного неравенства <tex>(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)</tex>:
<tex>\sum\limits_{j = 1}^\infty (x_j + y_j)^2 \le 2 \left ( \sum\limits_{j = 1}^\infty x_j^2 + \sum\limits_{j = 1}^\infty y_j^2 \right ) < +\infty</tex>
Итого, <tex>\ell^2</tex> — линейное пространство с определённым выше скалярным произведением и нормой <tex>\|x\| = \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^\infty x_j^2}</tex>. Осталось доказать полноту.
Для любого <tex>j</tex> можно записать: <tex>\|x_j^{(m)} - x_j^{(p)}\| \le \|x^{(m)} - x^{(p)}\|^2 \rightarrow 0</tex> при <tex>m, p \rightarrow \infty</tex>. То есть, всякая последовательность координат сходится к некоторому числу, следовательно фундаментальная последовательность последовательностей сходится к некоторой последовательности. Убедимся, что эта последовательность принадлежит <tex>\ell^2</tex> и является пределом <tex>\overline x^{(m)}</tex> по норме.
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
