Изменения

'''Дерево отрезков''' {{---}} это структура данных, которая позволяет эффективно (за асимптотику <tex>O(\log n))</tex> реализовать операции следующего вида: нахождение суммы (задача RSQ), минимума или максимума (задача RMQ) элементов массива в заданном отрезке (<tex>a[i...j]</tex>, где <tex>i</tex> и <tex>j</tex> поступают на вход алгоритма), при этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и изменение элементов на целом подотрезке массива (т.е. разрешается присвоить всем элементам <tex>a[i...j]</tex> какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число). Структура занимает <tex dpi = "140">O(n)</tex> памяти и выстраивается из массива за <tex>O(n)</tex>.

Пусть исходный массив <tex>a</tex> состоит из <tex>n</tex> элементов. Для удобства построения увеличим длину массива <tex dpi>a</tex> так, чтобы она равнялась ближайшей степени двойки, т.е. <tex>2^k</tex>, где <tex>2^k \ge n</tex>. Это сделано, для того чтобы не допустить обращение к несуществующим элементам массива при дальнейшем процессе построения. Пустые элементы можно заполнить нулями или бесконечностями (за бесконечностью стоит понимать, например, число, больше которого в данных ничего не появится) в зависимости от поставленной задачи. Тогда для хранения дерева отрезков понадобится массив <tex>t</tex> из <tex dpi = "140">2^{k+1}</tex> элементов, поскольку в худшем случае количество вершин в дереве можно оценить суммой <tex>n+n/2+n/4...+1 < 2n</tex>, где <tex>n=2^k</tex>. Таким образом, структура занимает линейную память.