Изменения
Нет описания правки
Эдмондса - Лоулера
|statement= Пусть <tex>M_1=<X, I_1></tex>, <tex>M_2=<X, I_2></tex> - матроиды. Тогда <br>
<tex>\max_{I \in I_1 \cap I_2 } |I| = \min_{A \subseteq X} r_1(A) + r_2(X \setminus A)</tex>
Где <tex>r_1</tex> и <tex>r_2</tex> - ранговые функции в первом и втором матроиде соответственно.
|proof=
Докажем неравенство <tex>\max_{I \in I_1 \cap I_2 } |I| \le \min_{A \subseteq X} r_1(A) + r_2(X \setminus A)</tex> <br>Выберем произвольные <tex>I \in I_1 \cap I_2</tex>, <tex>A \subseteq X</tex> <br><tex>|I| = |I \cap A| + |I \setminus A|</tex> <br><tex>I \cap A</tex> и <tex>I \setminus A</tex> - независимые в обоих матроидах (как подмножества независимового <tex>I</tex>), значит<tex>|I| = r_1(I \cap A) + r_2(I \setminus A)</tex> <br>Но <tex>r_1(I \cap A) \le r_1(A)</tex> и <tex>r_2(I \setminus A) \le r_2(X \setminus A)</tex>, значит <tex>|I| \le r_1(A) + r_2(X \setminus A)</tex> <br>В силу произвольности <tex>I</tex> и <tex>A</tex> получаем <br><tex>\max_{I \in I_1 \cap I_2 } |I| \le \min_{A \subseteq X} r_1(A) + r_2(X \setminus A)</tex>
}}
