Изменения

# Два недостающих элемента. Задан массив $[a_1, a_2, \ldots, a_{2n-1}]$, где все элементы от $1$ до $n$, кроме одного, встречаются ровно два раза, а один — один раз. Найдите этот элемент, используя $o(n)$ памяти.

# Два недостающих элемента. Задан массив $[a_1, a_2, \ldots, a_{2n-2}]$, где все элементы от $1$ до $n$, кроме двух, встречаются ровно два раза, а два — по одному разу. Найдите эти элементы, используя $o(n)$ памяти.

# Задача приблизительного подсчета числа вхождений. Biased Sketch. Рассмотрим алгоритм: выберем случайную хеш-функцию $h: U\to \{0,1, \ldots, m-1\}$ из универсального семейства. Заведем счетчик $cnt[0\ldots m-1]$ и в качестве операцими $update(x)$ будем делать $cnt[h(x)]$++, а в качестве $query(x)$ будем возвращать $cnt[h(x)]$. Пусть выполнено $n$ запросов $update$. Обозначим как $a(x)$ количество вхождений числа $x$. Оцените $P(query(x) > a(x) + \varepsilon n)$.

# CountMin. В предыдущей задаче чтобы лучше оценить количество, будем использовать несколько хеш-функций. Пусть мы используем $r$ хеш-функций, для каждой свой массив $cnt_i$, в качестве ответа на запрос будем выдавать $\min(cnt_i[h_i(x)])$. Какое $r$ необходимо выбрать, чтобы выполнялось $P(query(x) > a(x) + \varepsilon n) < \delta$?