244
правки
Изменения
Нет описания правки
# Комбинаторный объект ""двоичная куча"". Рассмотрим помеченные двоичные деревья, где каждая вершина имеет двух детей, левого и правого (любое из этих поддеревьев может быть пустым), а также число в родителе вершины меньше числа в самой вершине (так, вершина с номером 1 --- всегда корень). Используя комбинаторную конструкцию ""произведение с коробочкой"", составьте и решите уравнение на экспоненциальную производящую функцию для двоичных куч.
# Обозначим за $G(t)$ экспоненциальную производящую функцию всех помеченных графов. Чему равно $g_n$? Выразите экспоненциальную производящую функцию связных помеченных графов, используя $G(t)$.
# Найдите среднее число слагаемых, равных 1, в случайном упорядоченном разбиении числа $n$ на положительные слагаемые.
# Найдите среднее число слагаемых, равных $k$, в случайном упорядоченном разбиении числа $n$ на положительные слагаемые.
# Рассмотрим комбинаторный объект ""строки из 0 и 1, без двух 1 подряд"". Представьте его как конструируемый комбинаторный объект, найдите его ПФ от двух переменных ($A_{n, m}$ равно количеству строк длины $n$ из $m$ единиц).
# Найдите асимптотический главный член среднего количества единиц в таких строках длины $n$.
# Рассмотрим производящую функцию для непомеченных деревьев с порядком на детях, заданную уравнением $T(z) = \frac {z} {1 - T(z)}$.
Введем производящую функцию $G(z)$, равную сумме $d+1$ по всем таким деревьям (где $d$ - степень корня). Докажите, что $G(z) = \frac {T(z)}{z} - 1$.
# Найдите точное выражение для средней степени корня в деревьях из прошлого задания. Найдите предел при $n \to \infty$.
# Используя формулу обращения Лагранжа, найдите количество корневых лесов, состоящих из $k$ непомеченных деревьев с порядком на детях, порядок деревьев важен.
# Выразите дисперсию средней стоимости комбинаторных объектов веса $n$ через производящую функцию $A(z, u)$.
# Напишите ЭПФ от двух переменных для числа функций из $n$-элементного множества в $m$-элементное.
# Напишите ЭПФ от двух переменных для числа инъекций из $n$-элементного множества в $m$-элементное.
# Напишите ЭПФ от двух переменных для числа сюрьекций из $n$-элементного множества в $m$-элементное.
# Найдите среднюю степень корня в случайном дереве Кэли из $n$ вершин.
# Возрастающе-убывающей перестановкой называется перестановка, которая поочередно возрастает и убывает: $x_1 < x_2 > x_3 < x_4 \ldots$. Обозначим количество возрастающе-убывающих перестановок размера $n$ как $a_n$. Докажите, что экспоненциальной производящей функцией для последовательности $a_n$ является $(1+\sin t)/\cos t$.
# Производящая функция Ньютона. Для последовательности $g_0, g_1, \ldots, g_n, \ldots$ производящая функция Ньютона определена как $\dot G(z) = \sum_n g_n{z \choose n}$. Пусть выполнено равенство: $\dot H(z) = \dot F(z) \cdot \dot G(z)$. Как связаны последовательности $f_i$, $g_i$ и $h_i$?
# Найдите ЭПФ для чисел Эйлера I рода
# Найдите ЭПФ для чисел Эйлера II рода
