21
правка
Изменения
Нет описания правки
# Пусть вероятностный алгоритм $U_k$ получает на вход граф $G$ и выдает случайное паросочетание в $G$ размера $k$, причем все паросочетания равновероятны. Покажите, как с использованием $U_k$ получить $\varepsilon$-$\delta$-FRPAS для доли паросочетаний, содержащих заданное ребро $uv$ в графе $G$.
# Покажите, как с использованием $U_k$ из предедыдущего задания получить $\varepsilon$-$\delta$-FRPAS для числа $m_k(G)$.
# Будем называть полиномиальный вероятностный алгоритм $U_k$ равномерным с точностью до $\rho$ генератором, если он получает на вход граф $G$ и выдает случайное паросочетание в $G$ размера $k$, причем для любого паросочетания $M$ $|P(U_k(G)=M) - 1/m_k(G)| \le \rho/m_k(G)$. Пусть $\rho \le 1/n^b$ для некоторого $b$. Подберите константу $b$, чтобы можно было решить задание 84101, используя равномерный с точностью до $\rho$ генератор.# Подберите константу $b$, чтобы можно было решить задание 85102, используя равномерный с точностью до $\rho$ генератор.
# Пусть полиномиальный вероятностный алгоритм $\hat U_k$ получает на вход граф $G$ и выдает случайное паросочетание в $G$ размера $k$ или $k-1$, причем все паросочетания равновероятны. Пусть $r = m_k(G)/m_{k-1}(G)$ удовлетворяет условию $1/n^2 \le r \le n^2$. Докажите, что с помощью $\hat U_k$ можно получить $\varepsilon$-$\delta$-FRPAS для $m_k(G)$.
# Подберите константу $b$, чтобы можно было решить задание 88105, используя равномерный с точностью до $\rho \le 1/n^b$ генератор.
# Докажите, что если степень любой вершины в графе не меньше $n/2$, то выполнено условие $1/n^2 \le r \le n^2$ для задания 88.
# Соедините предыдущие задания, чтобы получить из существования равномерного с точностью до $\rho \le 1/n^b$ генератора $\hat U_k$ для любого $k$ $\varepsilon$-$\delta$-FPRAS для числа совершенных паросочетаний в двудольном графе, где степени всех вершин не меньше $n/2$.
