244
правки
Изменения
Нет описания правки
# Коды Грея для размещений. Предложите способ перечисления размещений, в котором соседние размещения отличаются заменой одного элемента в одной позиции.
# Докажите, что существует способ упорядочить все двоичные вектора длины $n$, чтобы любые два соседних отличались в не более, чем двух позициях, а количество единиц в $i$-м векторе не превосходило количество единиц в $j$-м векторе при $i < j$.
# Факториальная система счисления. Рассмотрим систему счисления, где бесконечно много цифр, в $i$-м разряде (нумерация разрядов с 1 от младшего к старшему) разрешается использовать цифры от 0 до $i$, вес $i$-го разряда $i!$. Докажите, что у каждого положительного числа ровно одно представление в факториальной системе счисления (с точностью до ведущих нулей). Предложите алгоритм перевода числа в факториальную систему счисления.
# Как связана факториальная система счисления и нумерация перестановок?
# Фибоначчиева система счисления. Рассмотрим систему счисления, где есть две цифры, 0 и 1. Пусть нумерация разрядов ведется с 1 от младшего к старшему, вес $i$-го разряда $F_i$, где $F_i$ - $i$-е число Фибоначчи ($F_0 = 1$, $F_1 = 1$, нулевой разряд не используется). При этом запрещается исползовать две единицы в соседних разрядах. Сколько представлений в Фибоначчиевой системе счисления у положительного числа $x$? Предложите алгоритм перевода числа в фибоначчиеву систему счисления.
# Свяжите фибоначчиеву систему счисления с нумерацией каких-либо комбинаторных объектов.
# Выразите $n \choose k$ через $n-1 \choose k-1$, $n$ и $k$.
# Выразите $n \choose k$ через $n-1 \choose k$, $n$ и $k$.
# Докажите, что ${n \choose m}{m \choose k}={n \choose k}{n-k \choose m - k}$.
# Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^n {k \choose m}={n+1 \choose m+1}$.
# Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^n {m+k \choose k}={m+n+1 \choose n}$.
# Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^n {r \choose k}{s \choose n - k}={r+s \choose n}$.
# Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^m {r \choose k}\left(\frac{r}{2} - k\right)=\frac{m+1}{2}{r \choose m+1}$. // Забавно, что нет простого выражения для $\sum\limits_{k=0}^m {r \choose k}$.
# Обобщите формулу бинома Ньютона на степень суммы трёх: $(x+y+z)^n=?$
# Докажите, что $\sum\limits_k{r \choose m + k}{s \choose n - k}={r+s \choose m+n}$. В этом и следующих заданиях сумма берётся по всем допустимым целым $k$.
# Докажите, что $\sum\limits_k{r \choose m + k}{s \choose n + k}={r+s \choose r-m+n}$
# Докажите, что $\sum\limits_k(-1)^k{r \choose m + k}{s+k \choose n}=(-1)^{r+m}{s-m \choose n-r}$
# Докажите, что $\sum\limits_k(-1)^k{r-k \choose m}{s \choose k-n}=(-1)^{r+n}{s-m-1 \choose r-m-n}$
# Докажите, что $\sum\limits_k{m-r+s\choose k}{n+r-s \choose n-k}{r+k \choose m+n}={r \choose m}{s \choose n}$
# Вычислите сумму $\sum\limits_{k=0}^m{m \choose k}/{n \choose k}$.
# Докажите, что $\sum\limits_k {n - k \choose k} = F_n$ ($n$-е число Фибоначчи).
