Изменения
Нет описания правки
|proof=
Доказательство от противного.
Пусть <tex>|B_1| > |B_2|</tex>. Тогда по третьей аксиоме из [[Определение матроида|определения матроида]] <tex>\exists x \in B_1 \setminus B_2</tex> такой, что <tex>B_2 \cup {x} \in I</tex>. То есть <tex>B_2</tex> — не максимальное по включению независимое множество, что противоречит определению базы.
Случай <tex>|B_2| > |B_1|</tex> разбирается аналогично.
}}
о базах
|statement= Пусть <tex>M</tex> — матроид и <tex>B_s</tex> — семейство его баз. Тогда: <br>
1) <tex>B_s \ne \varnothing</tex>; 2) если <tex>B_1, B_2 \in B_s</tex> и <tex>B_1 \ne B_2</tex>, то <tex>B_1 \nsubseteq B_2</tex> и <tex>B_2 \nsubseteq B_1</tex>;23) если <tex>B_1, B_2 \in B_s</tex>, то для <tex>\forall b_1 \in B_1 \: \exists b_2 \in B_2 </tex> такой, что <tex>(B B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in B_s</tex>.
|proof=
1) Следует из первой аксиомы [[Определение матроида|определения матроида]]; <br>2) Из теоремы о равномощности баз следует, что <tex>B_1 \neg \subset B_2</tex> и <tex>B_2 \neg \subset B_1</tex>. А с условием <tex>B_1 \ne B_2</tex> получаем <tex>B_1 \nsubseteq B_2</tex> и <tex>B_2 \nsubseteq B_1</tex>; <br>3) Введем следующие обозначения: <br><tex>A := B_2</tex> <br><tex>B := B_1 \setminus b_1</tex> <br>Заметим, что <tex> A \setminus B </tex> состоит из одного элемента: <br><tex>x := A \setminus B = B_2 \setminus (B_1 \setminus b_1) = b2 \in B_2</tex>. <br>По теореме о равномощности баз <tex>|A|>|B|</tex>, значит для них выполняется третья аксиома [[Определение матроида|определения матроида]]. <br> С учетом введенных обозначений аксиома принимает вид: <br><tex> \exists b_2 \in B_2 </tex> такой, что <tex>(B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in I</tex>.А так как <tex>|(B_1 \setminus b_1) \cup b_2| = |B_1|</tex> и <tex>B_1</tex> — база, то <tex>(B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in B_s</tex>, что и требовалось доказать.
}}
