Изменения

== Алгоритм за O(N log^2(N)) (хэшихеши) ==

Данный алгоритм является некоторым улучшением предыдущего. Основная цель - сократить оценку времени сравнения двух циклических сдвигов до <tex>O(\log(n))</tex>, тогда мы по аналогии с предыдущим алгоритмом получим оценку <tex>O(N \log^2(N))</tex>. У нас есть возможность быстро сравнивать на равенство подстроки используя метод, описанный в [[Поиск_подстроки_в_строке_с_использованием_хеширования._Алгоритм_Рабина-Карпа | здесь]].

Далее пусть нам необходимо сравнить два циклических сдвига <tex>s[i_1..i_1-1]</tex> и <tex>s[i_2..i_2-1]</tex>. Найдем сначала их наибольший общий префикс (<tex>lcp(i_1,i_2)</tex>), для этого будем использовать двоичный поиск по длине совпадающего префикса, а проверку осуществлять с помощью посчитанных хэшей хешей префиксов.

Если оказалось, что <tex>lcp(i_1,i_2) = N</tex>, то строки равны. Если же <tex>lcp(i_1,i_2) < N</tex>, то символы <tex>s[i_1 + lcp]</tex> и <tex>s[i_2+lcp]</tex> точно различаются, их сравнение позволяет сделать вывод, какой из циклических сдвигов меньше в лексикографическом порядке. И так двоичный поиск работает за <tex>O(\log(N))</tex> остальные операции требуют константного времени, получаем оценку времени, необходимого на сравнение двух циклических сдвигов <tex>O(\log(N))</tex>.

Этот алгоритм сильно отличается от двух предыдущих и от него не сложно перейти к алгоритму за <tex>O(N \log(N))</tex>. И так основная идея: на каждом шаге будем сортировать префиксы циклических сдвигов длины <tex>1,2,4,..., 2^{\lceil \log_2(n)\rceil}</tex>. Еще одно важное дополнение: после каждой фазы, каждому префиксу циклического сдвига <tex>s[i..i-1]</tex> будет присваиваться номер класса эквивалентности <tex>c[i]</tex> среди этих префиксов. Причем классы эквивалентности должны быть пронумерованы в лексикографическом порядке соответствующих представителей.

В начале легко можно отсортировать за <tex>O(N \log(N))</tex> префиксы длины <tex>1</tex>, т.е. символы. А номера классов поставить в соответствии с порядковым номером символа в алфавите.

Рассмотрим теперь переход от префиксов длины <tex>l</tex> к префиксам длины <tex>2l</tex>. Научимся сравнивать два префикса длины <tex>2l</tex> за <tex>O(1)</tex>: Пусть даны префиксы <tex>s[i..i+2l-1]</tex>, <tex>s[j..j+2l-1]</tex>, сравним сначала их левые половинки, использовав значения <tex>c[i], c[j]</tex> с предыдущего шага, если <tex>c[i]\neq c[j]</tex>, то префиксы соотносятся так как же, как <tex>c[i]</tex> и <tex> c[j]</tex>, если <tex>c[i]=c[j]</tex>, то переходим к сравнению <tex>c[i+l]</tex> и <tex> c[j+l]</tex>. И так отсортировать префиксы длины <tex>2l</tex> можно за <tex>O(NlogN\log(n))</tex>. Вычислить новые <tex>c[i]</tex> можно легко просто пробежавшись в лексикографическом порядке по префиксам, и увеличивая значение соответствующего класса на <tex>1</tex> если текущий префикс не совпадает с предыдущим (сравнивать с помощью старых <tex>c[i], c[i+l]</tex>).

После шага <tex>l =2^{\lceil \log_2(n)\rceil} \ge N</tex>. Все циклические сдвиги будут отсортированы. Всего шагов <tex>O(\log(N))</tex>, каждый шаг проводится за <tex>O(N \log(n))</tex>, итоговая асимптотика <tex>O(N \log^2(N))</tex>.

'''for''' <tex>l</tex> = 1 '''to''' <tex>2^{\lceil \log_2(n)\rceil - 1}</tex> '''step''' <tex>l \leftarrow 2l</tex> '''do'''