315
правок
Изменения
Нет описания правки
|definition=
Нормой ограниченного оператора <tex>\left \| A \right \|</tex> является <tex>\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| Ax \right \|</tex>.}}
<tex>x \ne 0, z = \frac {x}{\left \| x \right \|}, \left \| z \right \| = 1</tex><br>
<tex>\left \| Az \right \| \le \left \| A \right \|</tex><br>
<tex>Az = \frac {Ax}{\left \| x \right \|}</tex>, таким образом, <tex> \left \| Ax \right \| \le \left \| A \right \| \left \| x \right \|, \forall x \in X</tex><br><br>
<tex>\left \| A \right \|</tex> удовлетворяет стандартным трём аксиомам нормы:<br>
1) <tex>\left \| A \right \| \ge 0, \left \| A \right \| = 0 \Longleftrightarrow A = 0</tex><br>
Таким образом, если оператор действует из конечномеронго пространства, то он вполне определён по его значению на базисных точках. Если он действует в конечномерное пространство, <tex>A \left ( \overline {e_k} \right ) = \sum \limits_{j=1}^m a_{jk} \overline{e_j}'</tex>.<br>
<tex>A \left ( \overline x \right ) = \sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \left ( a_{jk}x_k\overline{e_j}' \right ) = \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k \right ) \overline{e_j}' </tex><br>
<tex>\overline y = A \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k</tex> — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: <tex>A \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow A = \left ( a_{jk} \right )</tex>, где <tex>j</tex> и <tex>k</tex> пробегают от <tex>n</tex> до <tex>m</tex> соответственно, а <tex>A \overline x </tex> — результат действия л.о. <tex>A</tex> на точку <tex>\overline x</tex> можно представить в виде произведений произведения матрицы <tex>A</tex> и столбца <tex>x</tex>.<br>В <tex>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex>, таким образом, из <tex>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <tex>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex><br>Дальше, если верить моему конспекту, говорится, что, таким образом, линейный оператор, действующий из <tex>\mathbb{R}^n</tex> и/или в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, всегда непрерывен.
