1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>X</tex>, <tex>Y</tex> — нормированные пространства, <tex>~\mathcal{A}\colon X \to Y</tex>. <tex>\mathcal{A}</tex> называется линейным оператором, если <tex>\mathcal{A \left } ( \alpha x + \beta y \right )=\alpha \mathcal{A } \left ( x \right )+\beta \mathcal{A } \left ( y \right ), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X</tex>}}Из того факта, что <tex>\mathcal{A } \left ( \alpha x \right )=\alpha \mathcal{A } \left ( x \right )\forall \alpha \in \mathbb {R} </tex>, следует, что <tex>\forall \alpha \in \mathbb mathcal{RA}~ A \left ( 0 \right )=0</tex>.<br>
{{Определение
|definition=
Л.о. называется ограниченным, если <tex>\exists m \in \mathbb {R} , m \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A } \left ( x \right ) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex> }}Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора:<br>
{{Определение
|definition=
Л.о. непрерывен в Xточке <tex>x</tex>, если <tex>\lim \limits_{\mathcal {4} Delta x \to 0} \mathcal{A } \left ( x+\mathcal{4}Delta x \right )=\mathcal{A} \left (x \right ) </tex> }}В силу линейности непрерывность Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора: {{Лемма|statement=Непрерывность оператора в точке <tex>x</tex> совпадает с его непрерывностью в точке <tex>0</tex>. Доказательство:<br><tex> \vartriangleright </tex> |proof=Пусть <tex> \lim \limits_{\mathcal {4} Delta x \to 0} \mathcal{A } \left ( \mathcal{4}Delta x \right )=\mathcal{A} \left (0 \right )=0</tex><br> <tex> \left \| \mathcal{A \left }( x + \mathcal{4} Delta x) - \right ) - mathcal{A \left }( x \right ) \right \| = \left \| \mathcal{A } \left (x \right)+ \mathcal{A } \left ( \mathcal{4}Delta x \right)-\mathcal{A } \left (x \right )\right \| = \left \| \mathcal{A } \left ( \mathcal{4}Delta x \right )\right \| \xrightarrow {[\mathcal{4}Delta x \to 0]{} 0 </tex><br> Значит, <tex>\mathcal{A } \left ( x + \mathcal{4} Delta x) \right )\xrightarrow [\mathcal{4}Delta x \to 0]{} \mathcal{A \left }( x \right ) </tex>, и <tex> \vartriangleleftmathcal{A} </tex>непрерывен в <tex> x <br/tex>по определению.}}
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
{{Определение
|definition=