Изменения

Рассмотрим <tex>H</tex>-пространство (H — гильбертово). Фиксируем <tex>y \in H</tex> и определим <tex>f\left ( x \right )=\left (x,y\right)</tex>. f — линейный функционал. По неравенству Шварца <tex> \left | f \left ( x \right ) \right | \le \left \| y \right \| \left \| x \right \|</tex>, следовательно, <tex> \left \| f \right \| \le \left \| y \right \|, x = \frac y {\left \| y \right \|}, \left \| x \right \| = 1. \left | f \left ( x \right ) \right | = \left \| y \right \|</tex>.<br>

<tex>\forall ~x_0 \ne 0 \in H,~ y_0 = \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|}, \left \| y_0 \right \| = 1</tex>. Рассмотрим <tex> f \left ( x \right ) = \left (x, y_0 \right ), \left \| f \right \| = 1.~ f \left ( x_0 \right ) = \left ( x_0, \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|} \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex><br>

1) <tex>f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex>, 2) <tex>\left \| f \right \| = 1</tex>