Изменения
→Пункт 3
<tex>(\sum_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>
|proof=Пусть <tex>g(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>. Ряд из <tex>f_n'</tex> - равномерно сходится, следовательно <tex>g</tex>непрерывна на <tex><a, b></tex>, тогда по теореме о почленном интегрировании функцию можно записать в виде : <tex>\int\limits_{c}^{x}g(t)dt = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{c}^{x}f_n'(t)dt = \sum\limits_{1}^{infty}(f_n(x)-f_n(x))</tex> Так как <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится, а <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(f_n(x)-f_n(c))</tex> - сходится по последнему равенству, то по линейности рядов записав <tex>f_n(x)=(f_n(x)-f_n(x))+f_n(c)</tex>, получим, что<tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(x)</tex> - сходится. Для всех <tex>f(x)</tex> получаем <tex>\int\limits_{c}^{x}g(t)dt = f(x)-\sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> Функция слева дифференцируема, тогда по теореме Барроу, значит производная есть у функции справа : <tex>g(x) = f'(x)</tex>, чтосовпадает с тем, что надо было доказать.
}}
