Изменения
→Пункт 3
{{Теорема
|statement=
Пусть на <tex> (a, b) </tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n</tex>. Пусть <tex>c \in <\langle a, b>\rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится. Пусть <tex>\exists f_n'</tex> - непрерывная на <tex><\langle a, b>\rangle</tex> и<tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'</tex> - равномерно сходится на <tex><\langle a, b>\rangle</tex>, тогда на <tex><\langle a, b>\rangle</tex> выполняется :
<tex>(\sum_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>
|proof=
Пусть <tex>g(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>. Ряд из <tex>f_n'</tex> - равномерно сходится, следовательно <tex>g</tex>
непрерывна на <tex><\langle a, b>\rangle </tex>, тогда по теореме о почленном интегрировании функцию можно записать в виде :
<tex>\int\limits_{c}^{x}g(t)dt = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{c}^{x}f_n'(t)dt =
