Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Матрица, составленная из элементов <tex>A_{ij}</tex> - матрица Якоби отображения <tex>\mathcal{F}\quad</tex>. \quad
<tex dpi = "140">
A = (\mathcal{F}'(x)) =
При <tex>n = m</tex> определитель этой матрицы - якобиан.
}}
Пример :
<tex>
\mathcal{F} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \quad
\mathcal{F} =
\left\{
\begin{aligned}
y_1 &= x_1 + x_2 \\
y_2 &= x_1x_2 \\
y_3 &= x_1 - x_2
\end{aligned}
\right.
</tex>
<tex>
\mathcal{F}' =
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
x_2 & x_1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
</tex>
Существование всех частных производных координатных функции отнюдь не гарантирует дифференцируемость <tex>\mathcal{F}</tex>. Для указания достаточных условий предварительно рассмотрим один частный случай - дифференцирование композиций.
Пусть <tex>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</tex> - функция <tex>n</tex> переменных. <tex>y = f(x_1, x_2,...,x_n), \quad </tex>
<tex>x_j = \varphi_j(t), \quad t \in \mathbb{R}</tex>
<tex>y = g(t) = f(\varphi_1(t), \varphi_2(t),...,\varphi_n(t))</tex>
Пусть существует <tex>f^{-1}(\overline{x}), \quad \varphi_j(t)</tex>
<tex dpi = "140"> (f'(\overline{x})) = (\frac{\delta f}{\delta x_1}, \frac{\delta f}{\delta x_2},...,\frac{\delta f}{\delta x_n})</tex>
<tex>\overline{\varphi}(t) = (\varphi_1(t),...,\varphi_n(t))</tex>
<tex>
(\overline{\varphi'}(x)) =
\begin{pmatrix}
\varphi_{1}'(t)\\
\varphi_{2}'(t)\\
...\\
\varphi_{n}'(t)\\
\end{pmatrix}
</tex>
<tex>(BA) = (B)(A)</tex>
<tex = dpi = "140">g'(t) = (f'(\overline{x}))(\overline{\varphi}'(t)) = \sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{x})\cdot \varphi'_{j}(t)</tex>
