Изменения
Новая страница: «<tex>y = f(x), x \in \mathbb{R};</tex> <tex>f(x)-f(x_0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{…»
<tex>y = f(x), x \in \mathbb{R};</tex> <tex>f(x)-f(x_0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}</tex><br>
<tex>\mathcal{4}f(x_0)=f(x)-f(x_0)</tex><br>
<tex>d^k f(x_0)=f^{(k)}(x_0)\mathcal{4}x_k</tex>
<tex>\mathcal{4}f(x_0,\mathcal{4}x)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {1}{k!} d^k f(x_0,\mathcal{4}x)+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}f(x_0+\theta\mathcal{4}x,\mathcal{4}x)</tex><ref>Казалось бы, у меня в конспекте в знаменателе второй дроби нет восклицательного знака. Но что-то мне подсказывает, что он там должен быть...
</ref><br>
Такую форму записи можно перенести и на функцию из n переменных: <tex>x_0</tex> переходит в <tex>\overline {x_0}</tex>, а <tex>\mathcal{4}x</tex> — в <tex>\mathcal{4}\overline x</tex><br>
Определим частнык производные и дифференциалы высших порядков.
<tex>\frac \delta{\delta x_j}</tex> — оператор, дифференцирующий функцию по <tex>x_j</tex>. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков.
Пусть <tex>z = f(x,y)</tex>. Тогда <tex>\frac \delta{\delta y} \left ( \frac {\delta f}{\delta x_j} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y}</tex> — частная производная второго порядка функции <tex>f</tex>. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо.
В каком случае <tex>\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y}=\frac {\delta^2 f}{\delta y \delta x}</tex>?
{{Теорема
|about=О смешанных производных
|statement=
Пусть в двумерном шаре у функции <tex>z = f(x,y)</tex> существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке <tex>a</tex> этого шара. Тогда в <tex>\overline a</tex>: <tex>\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y} (\overline a)=\frac {\delta^2 f}{\delta y \delta x}(\overline a)</tex>
|proof=
ЙА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
}}
<references/>
<tex>\mathcal{4}f(x_0)=f(x)-f(x_0)</tex><br>
<tex>d^k f(x_0)=f^{(k)}(x_0)\mathcal{4}x_k</tex>
<tex>\mathcal{4}f(x_0,\mathcal{4}x)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {1}{k!} d^k f(x_0,\mathcal{4}x)+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}f(x_0+\theta\mathcal{4}x,\mathcal{4}x)</tex><ref>Казалось бы, у меня в конспекте в знаменателе второй дроби нет восклицательного знака. Но что-то мне подсказывает, что он там должен быть...
</ref><br>
Такую форму записи можно перенести и на функцию из n переменных: <tex>x_0</tex> переходит в <tex>\overline {x_0}</tex>, а <tex>\mathcal{4}x</tex> — в <tex>\mathcal{4}\overline x</tex><br>
Определим частнык производные и дифференциалы высших порядков.
<tex>\frac \delta{\delta x_j}</tex> — оператор, дифференцирующий функцию по <tex>x_j</tex>. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков.
Пусть <tex>z = f(x,y)</tex>. Тогда <tex>\frac \delta{\delta y} \left ( \frac {\delta f}{\delta x_j} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y}</tex> — частная производная второго порядка функции <tex>f</tex>. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо.
В каком случае <tex>\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y}=\frac {\delta^2 f}{\delta y \delta x}</tex>?
{{Теорема
|about=О смешанных производных
|statement=
Пусть в двумерном шаре у функции <tex>z = f(x,y)</tex> существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке <tex>a</tex> этого шара. Тогда в <tex>\overline a</tex>: <tex>\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y} (\overline a)=\frac {\delta^2 f}{\delta y \delta x}(\overline a)</tex>
|proof=
ЙА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
}}
<references/>
