Пусть в двумерном шаре у функции <tex>z = f(x,y)</tex> существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке <tex>a</tex> этого шара. Тогда в <tex>\overline a</tex>: <tex>\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y} (\overline a)=\frac {\delta^2 f}{\delta y \delta x}(\overline a)</tex>
|proof=
ЙА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО<tex>\mathcal{4}_x f=f(x+\mathcal{4}x,y)-f(x,y)</tex><br><tex>\mathcal{4}_y f=f(x,y+\mathcal{4}y)-f(x,y)</tex><br><tex>\mathcal{4}_x \mathcal{4}_y f=\mathcal{4}x (f(x,y+\mathcal{4}y)-f(x,y))=(f(x+\mathcal{4}x,y+\mathcal{4}y)-f(x+\mathcal{4}x,y))-(f(x,y+\mathcal{4}y)-f(x,y))</tex><br>Если поменять местами операции, то мы получим то же самое (после раскрытия скобок). Цель доказательства — перезаписать это арифметическое равенство в частных производных второго порядка. Появятся дополнительные параметры, которые должны сократиться, и в итоге мы получим <tex>\mathcal{4}_x \mathcal{4}_y f=\mathcal{4}_y \mathcal{4}_x f</tex>.<br>Введём функцию <tex>g(t)=f(t,y+\mathcal{4}y)-f(t,y)</tex>.<br><tex>\mathcal{4}_x \mathcal{4}_y f=g(x+\mathcal{4}x)-g(x)=g'(x+\theta \mathcal{4}x)\mathcal{4}x</tex><br><tex>g'(t)=\frac {\delta f}{\delta x}(t,y+\mathcal{4}y)-\frac {\delta f}{\delta x}(t,y)</tex><br><tex>\mathcal{4}_x \mathcal{4}_y f=\left ( \frac {\delta f}{\delta x} ( x + \theta_1 \mathcal{4}x,y+\mathcal{4}y ) - \frac {\delta f}{\delta x}( x + \theta_1 \mathcal{4}x,y) \right )\mathcal{4}x</tex><br><tex>g(t)=\frac {\delta f}{\delta x}(x+\theta_1\mathcal{4}x,t)</tex><br><tex>\mathcal{4}_x \mathcal{4}_y f=(g(y+\mathcal{4}y)-g(y))\mathcal{4}x=g'(y+\theta_2 \mathcal{4}y) \mathcal{4}x \mathcal{4}y</tex><br><tex>g'(t)=\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y}(x+\theta_1\mathcal{4}x,t)</tex><br><tex>\mathcal{4}_x \mathcal{4}_y f=\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y}(x+\theta_1\mathcal{4}x,y+\theta_2 \mathcal{4}y) \mathcal{4}x \mathcal{4}y</tex><br><tex>\mathcal{4}_y \mathcal{4}_x f=\frac {\delta^2 f}{\delta y \delta x}(x+\theta_3\mathcal{4}x,y+\theta_4 \mathcal{4}y) \mathcal{4}x \mathcal{4}y</tex><br>Левые части двух равенств выше равны, значит, равны и правые. Рассмотрим <tex>\overline a = (a,b)</tex>:<br><tex>\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y}(a+\theta_1\mathcal{4}a,b+\theta_2 \mathcal{4}b) \mathcal{4}a \mathcal{4}b=\frac {\delta^2 f}{\delta b \delta a}(a+\theta_3\mathcal{4}a,b+\theta_4 \mathcal{4}b) \mathcal{4}a \mathcal{4}b~~\forall \mathcal{4}a,\mathcal{4}b.</tex> <tex>\theta_i \in (0,1)</tex><br>В <tex>\overline a</tex> оба выражения непрерывны. Устремим <tex>\mathcal{4}a,\mathcal{4}b \to 0</tex> и по непрерывности в пределе приходим к нужной формуле.
}}
Следствие:
<references/>
