315
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex>d^2 f=d\left( \frac {\delta f}{\delta x}(\overline x) \mathcal{4}x-\frac {\delta f}{\delta y}(\overline x) \mathcal{4}y\right)=\frac{\delta^2 f}{\delta x^2}(\overline x) \mathcal{4}x^2+2\frac{\delta^2f}{\delta x \delta y}(\overline x) \mathcal{4}x\mathcal{4}y+\frac{\delta^2 f}{\delta y^2}(\overline x) \mathcal{4}y^2.</tex> Частные производные — непрерывны. Теперь пусть <tex>dx=\mathcal{4}x, dy=\mathcal{4}y</tex>: <tex>x=a+bt,dx=bdt</tex><br>
<tex>g(t)=f(a+bt,c+dt)</tex><br>
<tex>dg=g'(t)dt=\left ( \frac {\delta f}{\delta x}(a+bt)b+ \frac {\delta f}{\delta y}(c+dt)d\right )dt=\frac{\delta f}{\delta x}</tex><ref>Это весьма себе похоже на правду, но у меня в конспекте написано, цитата: «Мутно и ни фига не видно. TODO: переписать.» Так что, кому не лень, чекните это местои следующие пару строчек после него.</ref><br>При линейной замене переменных дифференциал первого порядка инвариантен (да и n-го тоже).<br><tex>g(t)=f(a+bt,c+mt)</tex><br><tex>d^n g=d^n f</tex>, <tex>dx=bdt,dy=mdt</tex>.<br>Рассмотрим пару <tex>(\overline a, \overline b)</tex>: <tex>\overline b - \overline a = \mathcal{4}\overline a</tex><br><tex>g(t)=f(\overline a+t\mathcal{4}\overline a)</tex><br><tex>g(1)-g(0)=f(\overline a+t\mathcal{4}\overline a)-f(\overline a)</tex><br><tex>g(1)-g(0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}g(0)}{k!}+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}g(\theta)</tex><br><tex>f(\overline a+t\mathcal{4}\overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\mathcal{4}\overline a)}{(n+1)!}</tex> — формула Тейлора для функции многих переменных. При <tex>n=1</tex>:<br><tex>f(\overline a+t\mathcal{4}\overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{j=1}^n\frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline a)\mathcal{4}\overline a+\frac 1 2 \sum \limits_{i,j=1}^n \frac {\delta^2 f}{\delta x_i \delta x_j} (\overline a+\theta \mathcal{4}\overline a)\mathcal{4}a_i\mathcal{4}a_j</tex>
<references/>
