1679
правок
Изменения
м
$ \frac{\partial f}{\partial x_j} (\overline{a}) = 0 $ Пусть $ y = f(\overline{x}) $, исследуем на экстремум $\overline{a} $.
Классический пример: $ \xi_1^2 + \dots + \xi_n^2 $. Будем считать, что интересующая нас форма именно такая. Но на $ \delta_n $ она - непрерывная функция,а координаты на сфере все не равны нулю.
запилил совсем
<wikitex>
Считаем что $ \forall \frac{\partial f}{\partial x_j} \in C^0 $(непрерывная)
$ y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) $ в $ V(\overline{a}) \in R^n $
Если $ \| \Delta \overline{a} \| \le \delta, \quad \delta \approx 0 \Rightarrow f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) \le f(\overline{a}) $, то $ a $ - точка локального максимума. Аналогично, точка локального минимума. Мгновенно получается аналог теоремы Ферма: Существует f, дифференциируемая в точке a, которая - локальный экстремум.Тогда $ \forall j = 1..n $ все $ \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0 $
{{Теорема
|about = Аналог теоремы Ферма
|statement =
Существует f, дифференциируемая в точке a, которая - локальный экстремум, тогда $ \forall j = 1..n $ все $ \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0 $
|proof =
$ f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) - f(\overline{a}) =
\sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) \Delta a_j + o(\Delta \overline{a}) $
= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) + \frac{o(h \overline{e_j})}{h} $ - стремится к 0 при h стремящемся к 0
Поэтому предел слева имеет разные знаки в зависимости от стремления к нулю(справа или слева), но по единственности предела:$ \frac{\partial f}{\partial x_j} (\overline{a}) = 0 $
Составляем систему:
= \frac12 \sum\limits_{i,j = 1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j } (\overline{a} + \theta \Delta \overline{a}) \Delta a_i \Delta a_j $
Записывая $ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j } (\overline{a} + \theta \Delta \overline{a}) $как $A_{ij} + \alpha_{ij} $, если $ A_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j } \overline{a} $:
$ \Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a})
$ \xi_i = \frac{\Delta a_i}{\| \Delta \overline{a} \|} $, приходим к записи:
$ \Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a})
= \frac12 {\| \Delta \overline{a} \|}^2 \left( \sum\limits_{i,j = 1}^{n} A_{ij} \Delta \xi_i \Delta \xi_j +\sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \Delta \xi_i \Delta \xi_j \right) $(*)
Обращаем внимание, что $ \sum\limits_{i = 1}^{n} \xi_i^2 = 1 $, тоесть $ \xi = (\xi_1, \dots ,\xi_n) \in \delta_n $ - ограниченное замкнутое множество, а, значит, компакто в $ R^n $.
Так как все частные производные непрерывны, то все $ \alpha_{ij} $ стремятся к 0, если $ \Delta a $ стремится к 0.
Воспользуемся тем, что квадратичные формы можно классифицировать по знаку их значений.
Форма является строго положительно определенной, если при $ \xi_i \ne 0 $ знак суммы $ A_{ij} \xi_i \xi_j > 0 $(например, $ \xi_1^2 + \dots + \xi_n^2 $ ).
По теореме Вейерштрасса форма принимает минимальное значение $ m > 0 $.
Вывод: $ \forall \overline{\xi} \in \delta_n \Rightarrow \sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \xi_i \xi_j $, где $ \alpha_{ij} $ - стремится к 0, а $\xi_i, \xi_j $ - ограничены - приходим к выводу что сумма стремится к нулю.
Значит: ф $ \exists \delta > 0 : \| \Delta \overline{a} \| < \delta \Rightarrow \sum \alpha_{ij} \xi_i \xi_j > -\frac12 m $ При таких $ \Delta \overline{a} $ : $ \sum A_{ij} \xi_i \xi_j + \sum \alpha_{ij} \xi_i \xi_j> \frac12 m > 0 $ Используя все в соотношении(*), получаем, что$ \Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a}) > \frac14 m {\|\Delta \overline{a} \|}^2 > 0 \Rightarrow \overline{a} $ - точка локального минимума. В результате: если $ df(\overline{a}) = 0$ , а $ d^2 f(\overline{a}, \Delta \overline{a}) $, как квадратичная форма строго положительно определенная, то a - точка локального минимума.}} Аналогично, если квадратичеая форма строго отрицательно определена, то a - точка локального максимума. Той же техникой показывают, что если $d^2f(\overline{a}, \Delta \overline{a})$ незнакоопредленная, то в точке a в ней локального экстремума нет. Остается ситуация: $ d^2 f(\overline{a}, \Delta \overline{a}) \ge 0 $ или $ \le 0 $ (нестрого знакоопределенная) - тогда проблема требует дополнительного исследования.
</wikitex>
