1679
правок
Изменения
м
Нет описания правки
<wikitex>$ z = f(x, y), \quad x \ge a, y \in [c; d] $ (можно нарисовать тут полоску). Считаем, что f непрерывна в этой полосе. $ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx $ - является несобственным интегралом, зависящим от параметра y. Если считать, что для некоторого $ y_0 \in [c; d] $, $ \int\limits_a^{\infty} f(x, y_0) dx $ - сходится, то $ \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx \xrightarrow[A \to + \infty]{} 0 $, или $ \forall \varepsilon > 0 \exists A_0(y_0): \forall A > A_0(y_0) \Rightarrow |\int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $ Для исключения зависимости $ A_0 $ от $ y_0 $, вводится понятие для равномерной сходимости. $ \forall \varepsilon > 0 : \exists A_0 : \forall A > A_0 , \forall y_0 \in [c; d] \Rightarrow | \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $. Прослеживается аналогия с функциональными рядами: $ \forall \varepsilon > 0 : \exists N : \forall n > N , \forall x \in E : | \sum\limits_{m = n}^{\infty} f_m(x) | < \varepsilon $ Сопоставляем два определения, видим $ n \leftrightarrow x $, $ x \leftrightarrow y $. Аналогия важна в том смысле, что доказательство свойств интеграла копирует доказательство соответствующих свойств функциональных рядов. Установим признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов. Пусть $ |f(x, y) | \le g(x) \qquad \forall x \ge 0, \forall y \in [c; d] $. Пусть $ \int\limits_a^{\infty} g(x) dx $ - сходится. Тогда соответствующий интеграл равномерно сходится на $ [Категорияc; d] $. $ B > A: В разработке\left| \int\limits_A^B f(x, y) dx \right| \le \int\limits_A^B |f(x, y)| dx \le \int\limits_A^B g(x) dx $. Интеграл g сходится, следовательно, по критерию Коши сходимости интегралов, $ \int\limits_A^B g(x) dx \xrightarrow[A, B \to + \infty]{} 0 \Rightarrow \int\limits_A^B f(x, y) dx \xrightarrow[A, B \to + \infty]{} 0 $, следовательно, для любого $ y $ - это сходящиеся интегралы. Это позволяет в неравенстве перейти к пределу при B, стремящемся к бесконечности: $ \left| \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx \right| \le \int\limits_A^B g(x) dx $ $ \forall \varepsilon > 0: \exists A_0: \forall A > A_0 \Rightarrow \int\limits_A^{\infty} g(x) dx < \varepsilon $, что возможно, так как $ \int g(x) dx $ - сходится. </wikitex>
