1679
правок
Изменения
м
Установим признак == Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов==Установим его.
до второго пункта.
Сопоставляем два определения, видим $ n \leftrightarrow x $, $ x \leftrightarrow y $. Аналогия важна в том смысле, что доказательство свойств интеграла копирует доказательство соответствующих свойств функциональных рядов.
Пусть $ |f(x, y) | \le g(x) \qquad \forall x \ge 0, \forall y \in [c; d] $.
$ \forall \varepsilon > 0: \exists A_0: \forall A > A_0 \Rightarrow \int\limits_A^{\infty} g(x) dx < \varepsilon $, что возможно, так как $ \int g(x) dx $ - сходится.
Сопоставляя $ \left| \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx \right| < \varepsilon \ \forall y \int [c; d] $, получаем что это и есть равномерная сходимость.
Базируясь на условии равномерной сходимости, те же три свойства что и для определенных интегралов.
Считаем далее, что интеграл равномерно сходится на $ [c; d] $.
=== Пункт 1 ===
$ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} \Delta f(y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $ (непр. F(y)).
Доказательство ведем по аналогии с рядами.
В силу равномерной сходимостри:
$ \forall \varepsilon > 0: \exists A_0: \forall A \ge A_0: \left| \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx \right| < \varepsilon, \forall y \in [c; d] $. $A = A_0$ - частный случай.
$ | F(y + \Delta y) - F(y) | = \left| \int\limits_a^{\infty} f(x, y + \Delta y) dx - \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right| $
По аддитивности интеграла:
$ |F(y + \Delta y) - F(y)| \le \\ \le \left| \int\limits_a^{A_0} f(x, y + \Delta y) dx - \int\limits_a^{A_0} f(x, y) dx \right| + \left| \int\limits_{A_0}^{\infty} f(x, y + \Delta y) dx \right| + \left| \int\limits_{A_0}^{\infty} f(x, y) dx \right| $ - последние два слагаемых $ \le \varepsilon $ по выбору $ A_0 $.
$ |\Delta F(y) | \le \left| \int\limits_a^{A_0} f(x, y + \Delta y) dx - \int\limits_a^{A_0} f(x, y) dx \right| + 2 \varepsilon $.
$ \int\limits_a^{A_0} f(x, y) dx $ - определенный интеграл, зависящий от параметра - его величина неперывно зависит от $ y $.
Для нашего $ \varepsilon: \exists \delta > 0: | \Delta y | < \delta $, следовательно, $ \left| \int\limits_a^{A_0} f(x, y + \Delta y) dx - \int\limits_a^{A_0} f(x, y) dx \right| $ окажется меньше $ \varepsilon $ по непрерывности.
$ | \Delta y | < \delta \Rightarrow | \Delta F(y) | < 3 \varepsilon $, то есть доказали непрерывность по произвольности $ \varepsilon $.
</wikitex>
